đề học sinh giỏi 8

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: a, Phân tích đa thức [TEX]x^3 - 5x^2 + 8x - 4[/TEX] thành nhân tử.
b, Tìm giá trị nguyên của x để A chia hết cho B biết
[TEX]A = 10x^2-7x-5[/TEX] và [TEX]B = 2x-3[/TEX]

Bài 2: Cho x+y =1 và xy khác 0. Chứng minh rằng [TEX]\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2(x-y)}{x^2y^2+3} = 0[/TEX].

Bài 3: a, Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
b, Chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{3} \leq \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \leq 3[/TEX].
c, Cho [TEX]a^2-4a+1 = 0[/TEX]. Tính giá trị của biểu thức [TEX]P=\frac{a^4+a^2+1}{a^2}[/TEX].
Bài 4: Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất [TEX]M=\frac{a^2-2a+2008}{a^2}[/TEX] với a khác 0.
Bài 5: a,Phân tích đa thức [TEX]a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)[/TEX] thành nhân tử.
b, Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn [TEX](a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 = 210[/TEX]. Tính giá trị của biểu thức [TEX]A =|a-b|+|b-c|+|c-a|[/TEX].
Bài 6:a, Giải phương trình nghiệm nguyên:[TEX]x^2+y^2=3-xy[/TEX].
b, Giải phương trình: [TEX](6x+8)(6x+6)(6x+7)^2 = 72[/TEX].
Bài 7: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]P=(x-2012)^2+(x+2013)^2[/TEX]
b, Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z = 3. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}[/TEX] \geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX].

Ai giúp mình với mình xin cảm ơn.

 

[hiendang241]

1a

ta có $x^3$-5$x^2$+8x-4=$x^2$(x-1)-4x(x-1)+4(x-1)
=(x-1)($x^2$-4x+4)=(x-1)$(x-2)^2$

 

[hiendang241]

1b

ta có:10$x^2$-7x-5=5x(2x-3)+8x-5=5x(2x-3)+4(2x-3)+7
=(5x+4)(2x-3)+7
(5x-4)(2x-3) chia hết cho 2x-3 nên 10$x^2$-7x-5 chia hết cho 2x-3 khi 7 chia hết cho 2x-3
\Rightarrow 2x-3 thuộc +-1;+-7
\Rightarrow2x thuộc 2;4;-4;10
\Rightarrow x thuộc 1;+-2;5

 

[vipboycodon]

5a.
$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$
= $a^2(b-c)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b$
= $a^2(b-c)-(ab^2-ac^2)+(b^2c-c^2b)$
= $a^2(b-c)-a(b-c)(b+c)+bc(b-c)$
= $(b-c)(a^2-ab-ac+bc)$
= $(a-b)(b-c)(a-c)$

 

[chonhoi110]

Bài 2: Thế $x=1-y$ và biểu thức ta được đpcm
Bài 3:
c, $P=\dfrac{a^4+a^2+1}{a^2}$

$=\dfrac{a^2-a+1}{a}.\dfrac{a^2+a+1}{a}$

$=\dfrac{(a^2-4a+1)+3a}{a}.\dfrac{(a^2-4a+1)+5a}{a}$

$=\dfrac{3a}{a}.\dfrac{5a}{a}=15$

Bài 7:
a, $P=(x-2012)^2+(x+2013)^2$
$=2x^2+2x+8100313$

$=2(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{16200625}{2} \ge \dfrac{16200625}{2}$

Vậy $Min P=\dfrac{16200625}{2} \leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$

 

[hiendang241]

3b/

_dễ thấy $x^2$+x+1>0(1)
ta có 2$(x-1)^2$\geq 0 \Rightarrow 2$x^2$-4x+2\geq0(2)
cộng 1và 2 ta đc 3($x^2$-x+1)\geq $x^2$+x+1
\Rightarrow $\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$\geq$\frac{1}{3}$
dấu = xảy ra khi x=1
_ lại có $x^2$-x+1=3($x^2$+x+1)-2$x^2$-4x-2=3($x^2$+x+1)-2$(x+1)^2$
\Rightarrow$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$=$\frac{3(x^2+x+1)-2(x+1)^2}{x^2+x+1}$\leq3
dấu = xảy ra khi x=-1

 

[hohoo]

6b
đặt 6x+7=a
\Rightarrow pt đã cho \Leftrightarrow a^2(a-1)(a+1)=72
\Leftrightarrow a^4-a^2-72=0
\Leftrightarrow (a^2-9)(a^2+8)=0
\Leftrightarrow a^2-9=0
\Leftrightarrow a=3 hoặc a=-3

 

[trinhminh18]

Bài 3: a, Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
Gọi 3 số đó là $x-1;x;x+1$ ta có :
$x^3+(x-1)^3+(x+1)^3$=$x^3+x^3-3.x^2+3x-1+x^3+3x^2+3x+1$=
=$3.x^3+6x$=$3x(x^2+2)$
đến đây lần lượt xét với $x=3k;x=3k+1;x=3k+2$\Rightarrowđiều phải c/m

 

[hohoo]

bài 4
M=[TEX]a^2-2a+2008[/TEX]/[TEX]a^2[/TEX]
=[TEX](a-1)^2+2007[/TEX]/[TEX]a^2[/TEX] \geq2007
dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=1

 

[trinhminh18]

bài 4:
A=$\dfrac{a^2-2a+2008}{a^2}$=1-$\dfrac{2}{a}$+$\dfrac{2008}{a^2}$
Đặt $\dfrac{2}{a}$=x,ta có:
A=$1-x+502x^2$=502($x^2$-$\dfrac{x}{502}$+$\dfrac{1}{502}$)
=502$(x-\dfrac{1}{1004})^2$+$\dfrac{2007}{2008}$
A=$\dfrac{2007}{2008}$\Leftrightarrowx=$\dfrac{1}{1004}$
\Rightarrow$a=2008$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 7

$P=(x-2012)^2+(x+2013)^2=x^2-4024x+4048144+x^2+4026+4052169=2x^2+2x+8100313$
$P_{min}=8100312.5$ [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $x=\frac{-1}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4

Theo đề ra, ta có: $a^2(M-1)+2a-2008=0$
$▲=8032M-8028$ [TEX]\geq[/TEX] $0$
$M_{min}=\frac{2007}{2008}$ [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $a=2008$

 

[nhokngok2]

Bài 3: a, Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
Gọi 3 số đó là $x-1;x;x+1$ ta có :
$x^3+(x-1)^3+(x+1)^3$=$x^3+x^3-3.x^2+3x-1+x^3+3x^2+3x+1$=
=$3.x^3+6x$=$3x(x^2+2)$
đến đây lần lượt xét với $x=3k;x=3k+1;x=3k+2$\Rightarrowđiều phải c/m

bạn làm rõ được không vậy mình không hiểu lắm phần cuối ấy.

 

[trinhminh18]

Đây

Xét x chia cho 3 xảy ra 3 trường hợp. Nếu x chia hết cho 3 thì x=3k , nếu x chia 3 dư 1 thì x= 3k+1, x chia 3k dư 2 thì x =3k +2
TH1: với x=3k :
$3x(x^2+2)=3.3k[(3k)^2+2]=9k[(3k)^2+2]$ hiển nhiên chia hết cho 9
TH2:với x=3k+1
$3x(x^2+2)=3k(3k+1)[(3k+1)^2+2]=3k(3k+1)(9k^2+6k+3)=3k.(3k+1).3(3k^2+2k+1)$ hiển nhin chia hết cho 9
TH3:với x=3k+2
$3x(x^2+2)=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]=3k(3k+2)(9.k^2+12k+6)=3k(3k+2)3(3k^2+4k+2)$
hỉn nhin chia hết cho 9
\Rightarrowđiều phải c/m

 

[nhokngok2]

Bài 2: Thế $x=1-y$ và biểu thức ta được đpcm

Bạn ơi mình thay vào rồi mà không được gì hết bạn giải thích rõ được không?

 

[nhokngok2]

_dễ thấy $x^2$+x+1>0(1)
ta có 2$(x-1)^2$\geq 0 \Rightarrow 2$x^2$-4x+2\geq0(2)
cộng 1và 2 ta đc 3($x^2$-x+1)\geq $x^2$+x+1
\Rightarrow $\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$\geq$\frac{1}{3}$
dấu = xảy ra khi x=1
_ lại có $x^2$-x+1=3($x^2$+x+1)-2$x^2$-4x-2=3($x^2$+x+1)-2$(x+1)^2$
\Rightarrow$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$=$\frac{3(x^2+x+1)-2(x+1)^2}{x^2+x+1}$\leq3
dấu = xảy ra khi x=-1

Tại sao biểu thức [TEX]\frac{3(x^2+x+1)-2(x+1)^2}{x^2+x+1}[/TEX] lại \leq 3?

 

[tranvankhoai2007]

Tại sao biểu thức [TEX]\frac{3(x^2+x+1)-2(x+1)^2}{x^2+x+1}[/TEX] lại \leq 3?

[TEX]\frac{3(x^2+x+1)-2(x+1)^2}{x^2+x+1}[/TEX] [TEX]= \frac{3(x^2+x+1)}{x^2 + x+1} - \frac{2(x+1)^2}{x^2+x+1} = 3 - \frac{2(x+1)^2}{x^2+x+1} \leq 3[/TEX]
Vì [TEX] \frac{- 2(x+1)^2}{x^2+x+1} \leq 0[/TEX]

 

[tranvankhoai2007]

Xét x chia cho 3 xảy ra 3 trường hợp. Nếu x chia hết cho 3 thì x=3k , nếu x chia 3 dư 1 thì x= 3k+1, x chia 3k dư 2 thì x =3k +2
TH1: với x=3k :
$3x(x^2+2)=3.3k[(3k)^2+2]=9k[(3k)^2+2]$ hiển nhiên chia hết cho 9
TH2:với x=3k+1
$3x(x^2+2)=3k(3k+1)[(3k+1)^2+2]=3k(3k+1)(9k^2+6k+3)=3k.(3k+1).3(3k^2+2k+1)$ hiển nhin chia hết cho 9
TH3:với x=3k+2
$3x(x^2+2)=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]=3k(3k+2)(9.k^2+12k+6)=3k(3k+2)3(3k^2+4k+2)$
hỉn nhin chia hết cho 9
\Rightarrowđiều phải c/m

Chọn cách ngắn hơn!
Ta có [TEX](n - 1)^3 + n ^3 + ( n + 1)^3 = 3n^3 + 6n [/TEX]
[TEX]= 3n^3 - 3n + 9n = 3n(n^2 - 1) + 9n [/TEX]
[TEX]= 3n (n - 1) (n + 1) + 9n [/TEX]
Ta có: [TEX]n (n - 1) (n + 1) [/TEX] chia hết cho 3 nên [TEX]3n (n - 1) (n + 1)[/TEX] chia hết cho 9
Mặt khác: 9n chia hết cho 9 => Đpcm

 

[tranvankhoai2007]

Bạn ơi mình thay vào rồi mà không được gì hết bạn giải thích rõ được không?

Cộng 2 phân thức đầu thôi! được kq là: [TEX] - \frac{2(x-y)}{x^2 y^2 + 3}[/TEX]
Nên ta có đpcm