Đề cương ôn thi HSG Toán 8:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) [TEX]A=8x^3(y+z)-y^3(2x+z)-z^3(2x-y)[/TEX]
b) [TEX]B=a^4+8a^3+14a^2-8a-15[/TEX]
c) [TEX]C=3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1[/TEX]
2)Chứng minh rằng không tồn tại [TEX]a; b; c \in N[/TEX] để: [TEX]abc+a=2013; abc+b=2015; abc+c=2017[/TEX]
3)a)Tìm GTLN của: [TEX]D=(1-x)(x+2)(x+6)(x+3)[/TEX]
b)Tìm GTNN của: [TEX]E=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+2031[/TEX]
c)Tìm các số nguyên x; y; z sao cho:
[TEX]x^2+2y^2+2z^2<2xy+2yz+2z[/TEX]
d)Cho a; b; c là độ dài các cạnh của [TEX]\Delta ABC[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c) \leq3abc[/TEX]
e)Cho a; b; c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện:
[TEX]\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}=\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}[/TEX]. Chứng minh tam giác đó là tam giác cân.
f)Cho số nguyên [TEX]n>1[/TEX], chứng minh rằng:[TEX]n^n-n^2+n-1 \vdots (n-1)^2[/TEX]
g)Giải phương trình:
+)Giải phương trình ẩn y: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a+b+y}[/TEX]
+)Giải phương trình ẩn x; y: [TEX]\frac{-9x^2+18x-17}{x^2-2x+3}=y(y+4)[/TEX]
h)Cho [TEX]x=by+cz; y=ax+cz; z=by+ax[/TEX] và [TEX]x+y+z \neq 0[/TEX]. Tính giá trị biểu thức: [TEX]M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}[/TEX]
i)Chứng minh: [TEX]25n^4+50n^3-n^2-2n \vdots 24[/TEX] với [TEX]\forall n \in Z[/TEX]

 

[lp_qt]

Câu 3d

do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $b+c-a\ge 0$ Do đó

$(b-c)^{2}(b+c-a)\ge 0 \Longleftrightarrow b^{3}+c^{3}-b^{2}c-bc^{2}-ab^{2}-ac^{2}+2abc \ge 0$ (1)

Tương tự : $c^{3}+a^{3}-c^{2}a-ca^{2}-bc^{2}-ba^{2}+2abc \ge 0$ (2)

$a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}-ca^{2}-cb^{2}+2abc\ge 0$ (3)

Cộng từng vế (1),(2),(3) rồi nhóm lại ta được:

$-2a^{2}(b+c-a)-2b^{2}(c+a-b)-2c^{2}(a+b-c)+6abc\ge 0$

Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh

khi $a=b=c \Longleftrightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều

Nguồn: VMF​

 

[phamhuy20011801]

Bài 1
[TEX] 25n^4 [/TEX] + [TEX]50n^3 [/TEX] – [TEX] n^2 [/TEX] – 2n
= n( [TEX] 25n^3 [/TEX]+ [TEX]50 n^2 [/TEX] – n – 2 )
=n[ [TEX]25n^2 [/TEX](n+2)-(n+2)]
= n( n + 2 )( [TEX]25n^2 [/TEX]– 1 )
= n( n + 2 ) [TEX]24n^2 [/TEX]+ n( n + 2 )( [TEX] n^2 [/TEX]– 1 )
= [TEX]24n^3 [/TEX]( n + 2 ) + ( n – 1 ). n( n + 1 )( n + 2 )
Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24. Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2. 3. 4 = 24

3d, Vì vai trò của a, b, c như nhau nên có thể sắp thứ tự các biến.
Không giảm tính tổng quát, giả sử [TEX]a \geq b \geq c > 0[/TEX]
(đề bài)
[TEX]\Leftrightarrow a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c) - 3abc \leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c(ab+ac-a^2-bc) + b(bc+ba-b^2-ac) + c(ca+bc-c^2-ab) \leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c) \leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(b+a-c)+c(c-a)(b-c) \leq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2(c-a-b) + c(c-a)(b-c) \leq 0[/TEX] (luôn đúng do cả 2 hạng tử đều âm)
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] đpcm đúng

 

[lp_qt]

Câu 1

b. $B=a^4+8a^3+14a^2-8a-15$

$=(a-1)(a^3+9a^2+23a+15)$

$=(a-1)(a+5)(a^2+4a+3)$

$=(a-1)(a+5)(a+1)(a+3)$

c. $C=3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1=(3x-y-1)(x-7y-1)$

 

[phamhuy20011801]

Câu 3

Bài 3
[TEX](x-1)(x+2)(x+3)(x+6)[/TEX]
[TEX]= \left [ (x-1)(x+6) \right ].\left [ (x+2)(x+3) \right ][/TEX]
[TEX]=(x^2 + 5x +6)(x^2 + 5x -6)[/TEX]
[TEX]= (x^2 + 5x)^2 - 36 \geq -36 [/TEX]
[TEX]\rightarrow min_A = -36[/TEX]

\Leftrightarrow $\left [\begin{matrix}x=0\\ x=-5 \end{matrix}\right.$
b, [TEX]A=x^4 - 8xy - x^3y+x^2y^2-xy^3+2031[/TEX]
[TEX]4A=4x^4-32xy-4x^3y+4x^2y^2-4xy^3+8124[/TEX]
[TEX]4A=(4x^4-4x^3y+x^2y^2)+(4y^4-4xy^3+x^2y^2)+2(x^2y^2-16xy+64)+7996[/TEX]
[TEX]4A=(2x^2-xy)^2+(2y^2-xy)^2+2(xy-8)^2 +7996[/TEX]
[TEX]4A \geq 7996[/TEX]
[TEX]A \geq 1999[/TEX]
dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow 2x^2=2y^2=xy=8 [/TEX]
[TEX]x^2=y^2=4 [/TEX]
x=y=+-2
Lần sau bạn nên gộp bài vào nhé.

 

[thaotran19]

Bài 3:
a)Bài 1
$25n^4+50n^3– n^2 – 2n$
$= n(25n^3+50 n^2 – n – 2 )$
$=n[25n^2(n+2)-(n+2)]$
$= n( n + 2 )(25n^2– 1 )$
$=n( n+2)(24n^2+n^2-1)$
$= n( n + 2 )24n^2+ n( n + 2 )( n^2 – 1 )$
$= 24n^3( n + 2 ) + n(n-1)( n + 1 )( n + 2 )$
Ta có: $24n^3( n + 2 ) \vdots 24$
$n(n-1)(n+1)(n+2) \vdots 24$(vì đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2. 3. 4 = 24)
\Rightarrow $24n^3( n + 2 ) + n(n-1)( n + 1 )( n + 2 ) \vdots 24$
\Rightarrow $25n^4+50n^3– n^2 – 2n \vdots 24$