đề chuyên

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 3 số nguyên dương thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng [TEX] a^5+b^5+c^5 [/TEX] chia hết cho 5
2) Giải phương trình [TEX] \sqrt[2]{x^2+24}-\sqrt[2]{x^2+15} [/TEX]=3x-2
3) Có 8 bạn đi chơi với nhau. Biết rằng trong bất cứ nhóm 3 người nào của 8 bạn ấy cũng có 1 người quen với 2 người kia. Chứng minh rằng có cách sắp xếp sao cho 8 bạn ấy đi chơi trên 4 xe mà mỗi xe đều có 2 người quen nhau.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
Ta có $n^5-n=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)+5n(n-1)(n+1)\vdots 5$
Do đó $a^5+b^5+c^5-a-b-c\vdots 5$ hay $a^5+b^5+c^5\vdots 5$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3. Giả sử những người đang xét là $A_1, A_2,...,A_8$
Trường hợp hai người nào cũng quen nhau thì ta dễ có điều phải chứng minh.
Trường hợp tồn tại hai người không quen nhau, giả sử là $A_1$ và $A_2$
Xét $(A_1, A_2, A_i)$ với $i\in\{3,4,5,6,7,8\}$ thì theo đề ta có $A_1$ và $A_2$ quen tất cả các bạn còn lại.
Khi đó ta xếp $(A_1, A_3)$ và $(A_2, A_4)$
Nếu $A_5, A_6, A_7, A_8$ đều đôi một quen nhau thì phân thành hai nhón tùy ý và ta có điều phải chứng minh.
Nếu $A_5$ không quen $A_6$ thì $A_5$ và $A_6$ đều quen $A_7$ và $A_8$
Ta có điều phải chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. Phương trình tương đương với:
$\sqrt{x^2+24}-5-\sqrt{x^2+15}+4=3x-3$
hay $\dfrac{(x+1)(x-1)}{\sqrt{x^2+24}+5}-\dfrac{(x+1)(x-1)}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)$
hay $(x-1)\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+24}+5}-\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}-3\right)=0$
Nếu $x<0$ thì phương trình ban đâu vô nghiệm là hiển nhiên.
Xét $x>0$ thì hiển nhiên $\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+24}+5}-\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}<0$
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$