Đặt: $\sqrt{x^2+2x}=a,\sqrt{2x-1}=b,a,b \geq 0$.
Ta có phương trình: $a+b=\sqrt{3a^2-b^2}$.
$2a^{2}-2b^{2}-2ab=0$
Xét b=0
Sau đó xét b khác 0 chia 2 vế cho $b^2$ được phương trình $2(\frac{a}{b})^2-2\frac{a}{b}-2=0$
Sử dụng bất đẳng thức Schur bậc ba ta có:
$\left ( a+ b+ c \right )^{3}+ 9abc\geq 4\left ( a+ b+ c \right )\left ( ab+ bc+ ca \right ) \Rightarrow 3abc\geq 4\left ( ab+ bc+ ca \right )- 9 \Leftrightarrow 4\left ( ab+ bc+ ca \right )- 9+ \frac{36}{ab+ bc+ ca}\geq 15 \Leftrightarrow \left ( ab+ bc+ ca- 3\right )^2\geq 0$.
Bất đẳng thức trên luôn đúng.
Còn có cách dùng Dirichlet nữa
3) Dễ dàng chứng minh được $PB+PC=AP$. Xét 2 tam giác CQP và ABP đồng dạng với nhau
suy ra tỉ lệ, cộng theo vế được điều phải chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
