Toán 11 Dãy số

[lò lựu đạn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 4. Cho [imath]b, c \in \mathbb{R}[/imath] thỏa [imath]b^2+4 c>0[/imath], ta đã biết với điều kiện này thì phương trình [imath]x^2-b x-c=0[/imath] có hai nghiệm phân biệt [imath]x_1, x_2[/imath]. Xét dãy số [imath]\left(u_n\right)[/imath] được xác định bởi:
[math]u_{n+2}=b u_{n+1}+c u_n, \forall n \geq 1 .[/math]Chứng minh rằng công thức tổng quát của dãy [imath]\left(u_n\right)[/imath] có dạng [imath]u_n=p x_1^n+q x_2^n, \forall n \geq 1[/imath] (trong đó [imath]p, q[/imath] là các hằng số thực).

View attachment 219119
Mọi người giúp em với ạ em cảm ơn ạ .

 

[Alice_www]

Bài 4. Cho [imath]b, c \in \mathbb{R}[/imath] thỏa [imath]b^2+4 c>0[/imath], ta đã biết với điều kiện này thì phương trình [imath]x^2-b x-c=0[/imath] có hai nghiệm phân biệt [imath]x_1, x_2[/imath]. Xét dãy số [imath]\left(u_n\right)[/imath] được xác định bởi:
[math]u_{n+2}=b u_{n+1}+c u_n, \forall n \geq 1 .[/math]Chứng minh rằng công thức tổng quát của dãy [imath]\left(u_n\right)[/imath] có dạng [imath]u_n=p x_1^n+q x_2^n, \forall n \geq 1[/imath] (trong đó [imath]p, q[/imath] là các hằng số thực).

View attachment 219119
Mọi người giúp em với ạ em cảm ơn ạ .

lò lựu đạn
Ta có:
[imath]\left\{\begin{matrix}x_1^2-bx_1-c=0\\x_2^2-bx_2-c=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_1^{n+2}-bx_1^{x+1}-cx_1^n=0\\x_2^{n+2}-bx_2^{n+1}-cx_2^n=0\end{matrix}\right.[/imath]

Giả sử với công thức đúng với [imath]u_{n+1}=px_1^{n+1}+qx_2^{n+1}[/imath]
ta chứng minh [imath]u_{n+2}=px_1^{n+2}+qx_2^{n+2}[/imath]

[imath]u_{n+2}=bu_{n+1}+cu_n=b(px_1^{n+1}+qx_2^{n+1})+c(px_1^n+qx_2^n)[/imath]
[imath]=p(bx_1^{n+1}+cx_1^n)+q(bx_2^{n+1}+cx_2^n)=px_1^{n+2}+qx_2^{n+2}[/imath] (đpcm)

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân