Toán 11 Dãy số

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ex:Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] được xác định bởi công thức:
[imath]\begin{cases} u_1 = 3 \\u_{n+1} = \dfrac{1}{3} (2u_n + \dfrac{8}{u_n^2}) \end{cases}[/imath] , [imath]\forall n \ge 1[/imath]
a)CMR: [imath]u_n \ge 2[/imath]
b)Tính giới hạn của dãy [imath](u_n)[/imath]
Mong mn giúp mình ạ :3

 

[7 1 2 5]

a) Dễ thấy bằng quy nạp ta được [imath]u_n>0 \forall n \geq 1[/imath]
Từ đó [imath]u_{n+1}=\dfrac{1}{3}(u_n+u_n+\dfrac{8}{u_n^2}) \geq \sqrt[3]{u_n\cdot u_n \cdot \dfrac{8}{u_n^2}}=2 \forall n \geq 1[/imath]
Mà [imath]u_1 > 2 \Rightarrow u_n \geq 2 \forall n \geq 1[/imath]
b) Ta có [imath]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{3}(\dfrac{8}{u_n^2}-u_n)=\dfrac{8-u_n^3}{3u_n^2} \leq 0 \forall n \geq 1[/imath]
[imath]\Rightarrow (u_n)[/imath] là dãy giảm.
Theo định lý Weierstrass, [imath](u_n)[/imath] bị chặn dưới bởi [imath]2[/imath] và [imath](u_n)[/imath] giảm nên [imath](u_n)[/imath] hội tụ.
Đặt [imath]l=\lim u_n[/imath] thì [imath]l \geq 2[/imath]
Từ hệ thức truy hồi, cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta được: [imath]l=\dfrac{1}{3}(2l+\dfrac{8}{l^2})[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{8-l^3}{3l^2}=0 \Leftrightarrow l=2[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim u_n=2[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​

 

[Thảo_UwU]

a) Dễ thấy bằng quy nạp ta được [imath]u_n>0 \forall n \geq 1[/imath]
Từ đó [imath]u_{n+1}=\dfrac{1}{3}(u_n+u_n+\dfrac{8}{u_n^2}) \geq \sqrt[3]{u_n\cdot u_n \cdot \dfrac{8}{u_n^2}}=2 \forall n \geq 1[/imath]
Mà [imath]u_1 > 2 \Rightarrow u_n \geq 2 \forall n \geq 1[/imath]
b) Ta có [imath]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{3}(\dfrac{8}{u_n^2}-u_n)=\dfrac{8-u_n^3}{3u_n^2} \leq 0 \forall n \geq 1[/imath]
[imath]\Rightarrow (u_n)[/imath] là dãy giảm.
Theo định lý Weierstrass, [imath](u_n)[/imath] bị chặn dưới bởi [imath]2[/imath] và [imath](u_n)[/imath] giảm nên [imath](u_n)[/imath] hội tụ.
Đặt [imath]l=\lim u_n[/imath] thì [imath]l \geq 2[/imath]
Từ hệ thức truy hồi, cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta được: [imath]l=\dfrac{1}{3}(2l+\dfrac{8}{l^2})[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{8-l^3}{3l^2}=0 \Leftrightarrow l=2[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim u_n=2[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​

7 1 2 5Em cảm ơn anh nhiều ạ