oanh6807Đặt [imath]v_n = u_n + \dfrac{2(-1)^n}{5} \Rightarrow v_0 = \dfrac{2}{5} ; v_1 = \dfrac{3}{5}[/imath]
Ta có:
[imath]v_{n+1} - 3v_n + v_{n-1} =0[/imath]
Xét phương trình đặc trưng ta có: [imath]x^2-3x+1=0[/imath] có nghiệm: [imath]x= \dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow v_n = \alpha \left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^n +\beta \left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n[/imath]
Thay vào [imath]v_0,v_1[/imath] ta giải hệ được:
[imath]u_n = \dfrac{1}{5} \left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \dfrac{1}{5} \left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^n - \dfrac{2(-1)^n}{5}[/imath]
[imath]= \dfrac{1}{5} \left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^{2n} + \dfrac{1}{5} \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{2n} - \dfrac{2(-1)^n}{5}[/imath]
[imath]= \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^{n} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right)^2[/imath]
Ta cần chứng minh [imath]\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^{n} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n}[/imath] là số nguyên (hiển nhiên theo khai triển nhị thức Newton bạn nhé)
Ngoài ra , mời bạn tham khảo thêm tại: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
