[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
mn giúp mình bài 7,8 vs ạ 
Toán 11 Dãy số
- Thread starter Dora_Dora
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 374
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bài 7:
[tex]\left\{\begin{matrix}u_1 = 2 \\ u_1 + u_2 + ... + u_n = n^2 u_n & \quad(1) \end{matrix}\right.[/tex]
Từ [tex](1)[/tex] thay [tex]n[/tex] bởi [tex]n + 1[/tex] ta được:
[tex]u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n + u_{n+1} = (n+1)^2u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies n^2 u_n + u_{n+1} = (n+1)^2u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies n^2 u_n = ((n+1)^2 - 1)u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies n^2 u_n = (n^2+2n)u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies u_{n+1} = \frac{n^2}{n^2+2n} u_n = \frac{n}{n+2} u_n [/tex]
Do đó:
[tex]u_n = \frac{n - 1}{n + 1} u_{n-1} = \frac{n - 1}{n + 1} \cdot \frac{n - 2}{n} u_{n-2} = ... = \frac{n - 1}{n + 1} \cdot \frac{n - 2}{n} ... \frac{1}{3} u_1 = \frac{4}{n(n+1)}[/tex]
Vậy: [tex]u_{2020} = \frac{4}{2020 \cdot 2021} = \frac{1}{505 \cdot 2021}[/tex]
Bài 8:
[tex]\left\{\begin{matrix}u_0 = 2 \\ u_n = -2007 \left( \frac{u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1}}{n} \right) & \quad(1) \end{matrix}\right.[/tex]
a) Từ $(1)$ ta có:
$u_n = -2007 \left( \frac{u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1}}{n} \right)$
$\implies nu_n = -2007 \left( u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} \right) \text{ (2)}$
Thay $n$ bởi $n+1$ ta có:
$(n+1)u_{n+1} = -2007 \left( u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n} \right)$
$\implies (n+1)u_{n+1} = -2007 \left( u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n} \right) \text{ (3)}$
Lấy $(3)$ trừ $(2)$ ta được:
$(n+1)u_{n+1} - nu_n = -2007 u_n$
$(n+1)u_{n+1} = (n - 2007) u_n$
$u_{n+1} = \frac{n - 2007}{n+1} u_n$
Do đó: $u_{n} = \frac{n - 2008}{n} u_{n-1} \text{ (4)}$
b) Từ $(4)$ ta dự đoán công thức tổng quát của $u_n$ là $u_n = -2007 \text{ } (-1)^k \text{ } C^k_{2007}$ (Bạn tự chứng minh bằng quy nạp nhé)
$S = u_0 + 2u_1 + ... + 2^{2007}u_{2007}$
$= \sum\limits_{i=0}^{2007} 2^i u_i $
$= \sum\limits_{i=0}^{2007} 2^i \cdot -2007 \cdot (-1)^i \cdot C^i_{2007} $
$=-2007 \cdot \sum\limits_{i=0}^{2007} (-2)^i \cdot C^i_{2007}$
$=-2007 \cdot \sum\limits_{i=0}^{2007} (-2)^i \cdot 1^{2007-i} \cdot C^i_{2007}$
$=-2007 \cdot (1-2)^{2007}$
$=2007$
[tex]\left\{\begin{matrix}u_1 = 2 \\ u_1 + u_2 + ... + u_n = n^2 u_n & \quad(1) \end{matrix}\right.[/tex]
Từ [tex](1)[/tex] thay [tex]n[/tex] bởi [tex]n + 1[/tex] ta được:
[tex]u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n + u_{n+1} = (n+1)^2u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies n^2 u_n + u_{n+1} = (n+1)^2u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies n^2 u_n = ((n+1)^2 - 1)u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies n^2 u_n = (n^2+2n)u_{n+1}[/tex]
[tex]\implies u_{n+1} = \frac{n^2}{n^2+2n} u_n = \frac{n}{n+2} u_n [/tex]
Do đó:
[tex]u_n = \frac{n - 1}{n + 1} u_{n-1} = \frac{n - 1}{n + 1} \cdot \frac{n - 2}{n} u_{n-2} = ... = \frac{n - 1}{n + 1} \cdot \frac{n - 2}{n} ... \frac{1}{3} u_1 = \frac{4}{n(n+1)}[/tex]
Vậy: [tex]u_{2020} = \frac{4}{2020 \cdot 2021} = \frac{1}{505 \cdot 2021}[/tex]
Bài 8:
[tex]\left\{\begin{matrix}u_0 = 2 \\ u_n = -2007 \left( \frac{u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1}}{n} \right) & \quad(1) \end{matrix}\right.[/tex]
a) Từ $(1)$ ta có:
$u_n = -2007 \left( \frac{u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1}}{n} \right)$
$\implies nu_n = -2007 \left( u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} \right) \text{ (2)}$
Thay $n$ bởi $n+1$ ta có:
$(n+1)u_{n+1} = -2007 \left( u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n} \right)$
$\implies (n+1)u_{n+1} = -2007 \left( u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n} \right) \text{ (3)}$
Lấy $(3)$ trừ $(2)$ ta được:
$(n+1)u_{n+1} - nu_n = -2007 u_n$
$(n+1)u_{n+1} = (n - 2007) u_n$
$u_{n+1} = \frac{n - 2007}{n+1} u_n$
Do đó: $u_{n} = \frac{n - 2008}{n} u_{n-1} \text{ (4)}$
b) Từ $(4)$ ta dự đoán công thức tổng quát của $u_n$ là $u_n = -2007 \text{ } (-1)^k \text{ } C^k_{2007}$ (Bạn tự chứng minh bằng quy nạp nhé)
$S = u_0 + 2u_1 + ... + 2^{2007}u_{2007}$
$= \sum\limits_{i=0}^{2007} 2^i u_i $
$= \sum\limits_{i=0}^{2007} 2^i \cdot -2007 \cdot (-1)^i \cdot C^i_{2007} $
$=-2007 \cdot \sum\limits_{i=0}^{2007} (-2)^i \cdot C^i_{2007}$
$=-2007 \cdot \sum\limits_{i=0}^{2007} (-2)^i \cdot 1^{2007-i} \cdot C^i_{2007}$
$=-2007 \cdot (1-2)^{2007}$
$=2007$