Toán 11 Dãy số

[Linh Drac]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1=-2$ và $x_{n+1}=\frac{2(2x_n+1)}{x_n+3}$ với mọi $n\geq 1$
Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ.

 

[tieutukeke]

Đặt [tex]x_{n}=u_{n}-1\Rightarrow u_{n+1}-1=\frac{4(u_{n}-1)+2}{u_{n}-1+3}=\frac{4u_{n}-2}{u_{n}+2}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{4u_{n}-2}{u_{n}+2}+1=\frac{5u_{n}}{u_{n}+2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{u_{n}+2}{5u_{n}}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}.\frac{1}{u_{n}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=-\frac{2}{3}.\left ( \frac{2}{5} \right )^{n-1}+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow lim\left ( \frac{1}{u_{n}} \right )=\frac{1}{3}\Rightarrow lim(u_{n})=3\Rightarrow lim(x_{n})=2[/tex] hay dãy đã cho hội tụ