Toán 11 Dãy số

[Annabelle]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các cố vấn toán học giúp em với

1. [tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & & \\u_{n+1}= &\frac{1}{2019} (2u_{n}+\frac{2017n+2015}{n^{2}+3n+2}) & \end{matrix}\right.| \lim u_{n}=?[/tex]
2. Cho tam giác đều [tex]A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] có độ dài cạnh là a. Trung điểm của các cạnh của tam giác [tex]A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] lập thành tam giác [tex]A_{2}B_{2}C_{2}[/tex], trung điểm của các cạnh của tam giác [tex]A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] lập thành tam giác [tex]A_{3}B_{3}C_{3}[/tex]...Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu [tex]S_{n}[/tex] tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác [tex]A_{n}B_{n}C_{n}[/tex]. Tính tổng S=[tex]S_{1}+S_{2}+S_{3}+...+S_{2019}[/tex]

 

[Tiến Phùng]

1) [tex]U_{n+1}=\frac{1}{2019}(2U_n+\frac{2019}{n+2}-\frac{2}{n+1})<=>U_{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{2019}(U_n-\frac{1}{n+1})[/tex]
Đặt [TEX]U_n-\frac{1}{n+1}=V_n[/TEX]=>[tex]V_1=\frac{3}{2}[/tex]
Được CSN của Vn có công bội 2/2019 => Vn=[tex]\frac{3}{2}.(\frac{2}{2019})^{n-1}=>U_n=\frac{3}{2}.(\frac{2}{2019})^{n-1}+\frac{1}{n+1}[/tex]
Vậy lim Un=0
2) Có thể thấy các tam giác đều mới được tạo ra có độ dài cạnh bằng 1/2 tam giác đều cũ
Ta có: [tex]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=> R=\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex] với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đầu tiên
Và dựa vào công thức trên có thể thấy cứ tam giác sau thì R cũng = 1/2 tam giác trước => Diện tích giảm 1/4 so với đường tròn trước
=> Tổng các diện tích là 1 tổng CSN công bội 1/4
Vậy ta có: [tex]S_n=\frac{S_1(1-(\frac{1}{4})^{n-1})}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S_1(1-(\frac{1}{4})^{n-1})=>S=\frac{4}{3}S_1(1-(\frac{1}{4})^{2018})[/tex]
Với [tex]S_1=\pi R^2=\pi \frac{a^2}{3}[/tex]
Thay lên là được

 

[Annabelle]

ở câu 1 ý ạ, tại sao lại suy ra được dãy [tex](v_{n})[/tex] là 1 CSN vậy ạ

 

[Tiến Phùng]

Đặt xong thay vào: [tex]V_{n+1}=\frac{2}{2019}V_n[/tex] thì đó rõ ràng là CSN rồi

 

[Annabelle]

À em hiểu rồi em cảm ơn ạ, giúp em thêm câu này với ạ
[tex]\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sqrt{ax+1}-x+b}{x^{2}}[/tex] là một số thực và a,b [tex] ∈\mathbb{R}[/tex] . Tính giá trị biểu thức S=[tex]3a^{2}+4b^{2}[/tex]