Dãy số

[brandnewworld]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR với mọi số tự nhiên n>1 ta có:
[tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+ \frac{1}{n^2} < \frac{5}{3}[/tex]
Bài làm
[tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+ \frac{1}{n^2} [/tex]
<[TEX]\frac{1}{1}+\frac{1}{.2}+\frac{1}{2.3}+...+ \frac{1}{(n-1)n} [/TEX]
=[TEX]1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+ \frac{1}{n-1} -\frac{1}{n}[/TEX]
=[TEX]2-\frac{1}{n}[/TEX]
[TEX]\leq 2-\frac{1}{2}=1,5<\frac{5}{3}[/TEX] (n>1, n là 1 số tự nhiên)

Các bạn còn bài nào khác về dãy số thì post lên cho mọi người cùng làm nha!!!

 

[zero_flyer]

chứng minh
[tex]sqrt{n} < 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}[/tex]

 

[rooney_cool]

chứng minh
[tex]sqrt{n} < 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}[/tex]

[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+..+\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{n}{\sqrt{n}}>{\sqrt{n}[/tex]

 

[pttd]

chứng minh
[tex]sqrt{n} < 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}[/tex]

bài nì làm theo phương pháp qui nạp
làm vế này trước,còn vế kia tương tự,ngại đánh TEX
[TEX]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}[/TEX]
*dễ thấy bài toán đúng với n=1
*giả sử n=k (k>1),ta có
[TEX]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k}[/TEX]
*cần chứng minh bài toán đúng với n=k+1
ta có [TEX]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k} +\frac{1}{\sqrt{k+1}}[/TEX]
xét hiệu [TEX]2.\sqrt[]{k+1} -2.\sqrt[]{k}=2. (\sqrt[]{k+1} +\sqrt[]{k})[/TEX]
[TEX]=\frac{2}{\sqrt[]{k+1} +\sqrt[]{k}} > \frac{2}{2.\sqrt[]{k+1}} = \frac{1}{\sqrt[]{k+1}}[/TEX]
[TEX]=> 2.\sqrt[]{k} +\frac{1}{\sqrt[]{k+1}} < 2.\sqrt[]{k+1}[/TEX]
-->[TEX]\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2.\sqrt[]{k+1}[/TEX]
theo nguyên lí qui nap=>bài toán đúng với \forall n nguyên dương
@-)

 

[brandnewworld]

Cho thêm nữa đi, càng nhiều càng tốt!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[linh954]

Bài nì ở trong đề thi học sinh giỏi toán 9, Quận 6, TP HCM(1995-1996)
CMR
[TEX]\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+......+\frac{1}{(2n+1)^2}<\frac{1}{4}[/TEX]
Gọi là toán 9 chứ chả dùng kiến thức gì liên quan đến lớp 9 cả đâu vì thế nên lớp 8 làm cũng đươc