dãy số

[ms.sun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho dãy số
[TEX](v_n) :[/TEX] [TEX]\left {\begin{v_1=\sqrt{2015}\\{v_{n+1}=v_n^2-2 \forall n \geq 1[/TEX]
cmr: [TEX]lim\frac{{v_{n+1} ^2}}{v_1^2v_2^2...v_n^2}=2011[/TEX]

(trích đề thi hsg thành phố 12 sáng nay ) =.=

 

[tuyn]

cho dãy số
[TEX](v_n) :[/TEX] [TEX]\left {\begin{v_1=\sqrt{2015}\\{v_{n+1}=v_n^2-2(1) \forall n \geq 1[/TEX]
cmr: [TEX]lim\frac{{v_{n+1} ^2}}{v_1^2v_2^2...v_n^2}=2011[/TEX]

(trích đề thi hsg thành phố 12 sáng nay ) =.=

+) Trước hết ta chứng minh [TEX]lim{v_n}=+\infty[/TEX]. Thật vậy: giả sử [TEX] lim{v_n}=a[/TEX], a là số hữu hạn
\Rightarrow Qua giới hạn 2 vế của (1) \Rightarrow a là nghiệm của PT:
[TEX]a=a^2-2 \Leftrightarrow a=-1,hoac:a=2[/TEX]
Rõ ràng [TEX](v_n)[/TEX] là dãy số dương \Rightarrow a=2
Mà [TEX]a= limv_{n+1}= \lim(v_n^2-2) > v_1^2-2=2013[/TEX]
\Rightarrow Vô lý \Rightarrow [TEX]limv_n=+\infty[/TEX]
[TEX]\Rightarrow lim(v_1^2v_2^2...v_n^2)=+\infty (2)[/TEX]
+) Ta có:
[TEX]v_{n+1}=v_n^2-2 \Leftrightarrow v_{n+1}^2=v_{n}^4-4v_n_2+4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (v_{n+1}^2-4=v_n^2(v_n^2-4) \Leftrightarrow \frac{v_{n+1}^2-4}{v_n^2-4}=v_n^2(do: v_n > 2 \forall n)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow v_1^2.v_2^2...v_n^2= \frac{v_2^2-4}{v_1^2-4}. \frac{v_3^2-4}{v_2^2-4}... \frac{v_{n+1}^2-4}{v_n^2-4}= \frac{v_{n+1}^2-4}{v_1^2-4}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow v_1^2v_2^2...v_n^2= \frac{v_{n+1}^2-4}{2011}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{v_{n+1}^2}{v_1^2v_2^2...v_n^2}=2011+ \frac{4}{v_1^2v_2^2...v_n^2}[/TEX]
[TEX]lim{ \frac{v_{n+1}^2}{v_1^2v_2^2...v_n^2}}=lim(2011+ \frac{4}{v_1^2v_2^2...v_n^2})=2011(do:(2)[/TEX]
Vậy có điều phải chứng minh