Cho dãy {[TEX]x_n[/TEX]}: [TEX]x_1=a;x_{n+1}=x_n(x_n-1)[/TEX]
Tìm dạng của [TEX]x_1[/TEX] để dãy là dãy hội tụ.
Chi tiết thì thật là tốt ạ!
Xét hàm số
[TEX]\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} - x\\f'\left( x \right) = 2x - 1\end{array}[/TEX]
nhận xét nếu dãy có giới hạn thì giới hạn chỉ có thể là [TEX]l = 0;l = 2[/TEX]
Xét các trường hợp của x1=a,
+)[TEX]a > 2 = > {x_{n + 1}} > {x_n} > 2\forall n \in N*[/TEX]
suy ra dãy (xn) không có giới hạn
+)[TEX]a < - 1 = > {x_2} > 2 = > \left( {{x_n}>2} \right)[/TEX] và tăng -> (xn) không có giới hạn
=)[TEX]\begin{array}{l}a = 2 = > {x_n} = 2\forall n\\a = -1 = > {x_n} = 2\forall n\end{array}[/TEX] suy ra dãy có giới hạn là 2
+)Xét -1<a<2 ta có
[TEX] - 1 < a < 2 = > \frac{{ - 1}}{4} \le f\left( a \right) = {x_2} < 2 = > \frac{{ - 1}}{4} \le {x_n} < 2[/TEX]
bây giờ ta giả sử tồn tại số [TEX]{n_0}[/TEX] sao cho [TEX]1 \le {x_n} < 2\forall n \ge {n_0}[/TEX] khi đó ta có [TEX]{x_{{n_0} + 1}} - {x_{{n_0}}} = x_{{n_0}}^2 - 2{x_{{n_0}}} < 0[/TEX] tức là kể từ n0 dãy này giảm nhưng do dãy chỉ có thể có giới hạn là 0 hoặc 2 nên kể từ số hạng thứ n nào đó ta sẽ có [TEX]{x_n} < 1 = > \frac{{ - 1}}{4} \le {x_{n + 1}} < 1[/TEX] điều này cho thấy không thể có số -1<x1=a<2 mà (xn) thuộc [1;2) hay nói cách khác là với mọi -1<a<2 thì tồn tại số n1 sao cho kể từ n1 các phần tử của dãy luôn nằm trong [-1/4;1)
Xét 2 dãy con [TEX]\left( {{x_{2n}}} \right);\left( {{x_{2n + 1}}} \right)[/TEX], ta có
Nếu [TEX]0 < {x_{2n}} < 1 = > 1 > {x_{2n + 2}} = x_{2n}^4 - 2x_{2n}^3 + {x_{2n}} = {x_{2n}}\left( {{x_{2n}} - 1} \right)\left( {x_{2n}^2 - {x_{2n}} - 1} \right) > 0[/TEX]
và [TEX]{x_{2n + 2}} - {x_{2n}} = x_{2n}^4 - 2x_{2n}^3 < 0[/TEX] suy ra dãy
[TEX]\left( {{x_{2n}}} \right)[/TEX] giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn và giới hạn này hiển nhiên là 0
tương tự nếu [TEX]\frac{{ - 1}}{4} < {x_{2n}} \le 0[/TEX] ta suy ra dãy [TEX]\left( {{x_{2n}}} \right)[/TEX] tăng và bị chặn trên là 0 và suy ra được nó có giới hạn là 0
tương tự với dãy con [TEX]\left( {{x_{2n + 1}}} \right)[/TEX] ta cũng thu được dãy này có giới hạn là 0
Kết luận dãy (xn) có giới hạn khi
a=2;a=-1=>limxn=2
-1<a<2=>limxn=0
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
)