- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
*Lý thuyết
+> Dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy tăng khi với mọi n thuộc N*, ta có [TEX]U_n<U_{n+1}[/TEX]
+> Dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm khi với mọi n thuộc N*, ta có [TEX]U_n>U_{n+1}[/TEX]
Từ đó ta nhận thấy có các cách sau để tìm xem dãy số là tăng hay giảm:
Cách 1: Xét hiệu [TEX]a=U_{n+1}-U_n[/TEX], nếu [TEX]a>0[/TEX] với mọi n thì dãy tăng, nếu a<0 với mọi n, thì dãy giảm.
Cách 2: Xét tỉ số [tex]t=\frac{U_{n+1}}{U_n}[/tex] nếu t>1 với mọi n, thì dãy tăng, nếu t<1 thì dãy giảm.
Lưu ý ở cách 2 này, ta phải chứng minh được [TEX]U_n[/TEX] cùng dấu với mọi n. Tức là [TEX]U_n[/TEX] luôn dương hoặc luôn âm. Trong trường hợp luôn âm thì tỉ số ngược lại: [TEX]t<1[/TEX] thì dãy tăng, t>1 thì dãy giảm. Còn nếu dãy [TEX]U_n[/TEX] có cả dương và âm thì phải dùng cách 1.
Ví dụ dãy [TEX]U_n=-1,2,-4,8,-16...[/TEX] ta có thể thấy không thể dùng cách xét tỉ số được.
Ngoài ra, nếu chỉ ra được 1 bộ 3 số hạng [TEX]U_n,U_{n+1}, U_{n+2}[/TEX] mà [TEX]U_n<U_{n+1},U_{n+1} >2U_{n+2}[/TEX] ( hoặc các hoán vị đan xen) thì ta kết luận luôn: Dãy không tăng không giảm.
* Xét tính tăng giảm của các dãy sau:
a.[tex]U_n=\frac{2n-5}{n+1}[/tex]
Giải: Xét hiệu: [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{2(n+1)-5}{(n+1)+1}-\frac{2n-5}{n+1}=\frac{2n-3}{n+2}-\frac{2n-5}{n+1}=\frac{7}{(n+1)(n+2)}>0[/tex]
Với mọi n.
Vậy dãy số là dãy số tăng
b. [tex]U_n=\frac{3^n-1}{2^n}[/tex]
Giải: Xét hiệu [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{3.3^n-1}{2^{n+1}}-\frac{2.3^n-2}{2^{n+1}}=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0[/tex]
với mọi n.
Vậy dãy số là dãy số tăng.
c. [tex]U_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}[/tex]
Giải: Rõ ràng nếu ở bài này, ta xét hiệu, thì sẽ có: [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+(n+1)+1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}[/tex]
Khi quy đồng lên trông rất phức tạp. Do đó ta dùng cách xét tỉ số:
Ta có [TEX]U_n>0[/TEX] với mọi n.
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{(n+1)^2+(n+1)+1}}=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{n^2+3n+3}}[/tex]
Dễ thấy : [TEX]n^2+3n+3>n^2+n+1[/TEX] với mọi n thuộc N*. Do đó ta có [TEX]\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{n^2+3n+3}}<1[/TEX], hay dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm.
d. [tex]U_n=\frac{3^n}{(3n)!}[/tex]
Giải: Những dạng này có giai thừa kết hợp với mũ như vậy, ta cũng thường xét tỉ số.
Ta có [TEX]U_n>0[/TEX] với mọi n.
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{3^{n+1}}{(3n+3)!}.\frac{(3n)!}{3^n}=\frac{3}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}<1[/tex]
Với mọi n.
Do đó ta có dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm.
e. [TEX]U_n=(-2)^n+1[/TEX]
Giải: Ta có : [TEX]U_1=-1,U_2=5,U_3=-7[/TEX]
=>[TEX]U_1<U_2,U_2>U_3[/TEX]
Do đó dãy không tăng cũng không giảm.
+> Dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy tăng khi với mọi n thuộc N*, ta có [TEX]U_n<U_{n+1}[/TEX]
+> Dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm khi với mọi n thuộc N*, ta có [TEX]U_n>U_{n+1}[/TEX]
Từ đó ta nhận thấy có các cách sau để tìm xem dãy số là tăng hay giảm:
Cách 1: Xét hiệu [TEX]a=U_{n+1}-U_n[/TEX], nếu [TEX]a>0[/TEX] với mọi n thì dãy tăng, nếu a<0 với mọi n, thì dãy giảm.
Cách 2: Xét tỉ số [tex]t=\frac{U_{n+1}}{U_n}[/tex] nếu t>1 với mọi n, thì dãy tăng, nếu t<1 thì dãy giảm.
Lưu ý ở cách 2 này, ta phải chứng minh được [TEX]U_n[/TEX] cùng dấu với mọi n. Tức là [TEX]U_n[/TEX] luôn dương hoặc luôn âm. Trong trường hợp luôn âm thì tỉ số ngược lại: [TEX]t<1[/TEX] thì dãy tăng, t>1 thì dãy giảm. Còn nếu dãy [TEX]U_n[/TEX] có cả dương và âm thì phải dùng cách 1.
Ví dụ dãy [TEX]U_n=-1,2,-4,8,-16...[/TEX] ta có thể thấy không thể dùng cách xét tỉ số được.
Ngoài ra, nếu chỉ ra được 1 bộ 3 số hạng [TEX]U_n,U_{n+1}, U_{n+2}[/TEX] mà [TEX]U_n<U_{n+1},U_{n+1} >2U_{n+2}[/TEX] ( hoặc các hoán vị đan xen) thì ta kết luận luôn: Dãy không tăng không giảm.
* Xét tính tăng giảm của các dãy sau:
a.[tex]U_n=\frac{2n-5}{n+1}[/tex]
Giải: Xét hiệu: [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{2(n+1)-5}{(n+1)+1}-\frac{2n-5}{n+1}=\frac{2n-3}{n+2}-\frac{2n-5}{n+1}=\frac{7}{(n+1)(n+2)}>0[/tex]
Với mọi n.
Vậy dãy số là dãy số tăng
b. [tex]U_n=\frac{3^n-1}{2^n}[/tex]
Giải: Xét hiệu [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{3.3^n-1}{2^{n+1}}-\frac{2.3^n-2}{2^{n+1}}=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0[/tex]
với mọi n.
Vậy dãy số là dãy số tăng.
c. [tex]U_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}[/tex]
Giải: Rõ ràng nếu ở bài này, ta xét hiệu, thì sẽ có: [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+(n+1)+1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}[/tex]
Khi quy đồng lên trông rất phức tạp. Do đó ta dùng cách xét tỉ số:
Ta có [TEX]U_n>0[/TEX] với mọi n.
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{(n+1)^2+(n+1)+1}}=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{n^2+3n+3}}[/tex]
Dễ thấy : [TEX]n^2+3n+3>n^2+n+1[/TEX] với mọi n thuộc N*. Do đó ta có [TEX]\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{n^2+3n+3}}<1[/TEX], hay dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm.
d. [tex]U_n=\frac{3^n}{(3n)!}[/tex]
Giải: Những dạng này có giai thừa kết hợp với mũ như vậy, ta cũng thường xét tỉ số.
Ta có [TEX]U_n>0[/TEX] với mọi n.
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{3^{n+1}}{(3n+3)!}.\frac{(3n)!}{3^n}=\frac{3}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}<1[/tex]
Với mọi n.
Do đó ta có dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm.
e. [TEX]U_n=(-2)^n+1[/TEX]
Giải: Ta có : [TEX]U_1=-1,U_2=5,U_3=-7[/TEX]
=>[TEX]U_1<U_2,U_2>U_3[/TEX]
Do đó dãy không tăng cũng không giảm.
