Toán 11 Dãy số khó

[dorayaki202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp tớ với tớ cảm ơn nhiều ạ <3
Cho dãy (un) [tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=4 & \\ u_{n+1}=2u_{n}+\sqrt{3u_{n}^2+1} & \end{matrix}\right.[/tex]
CMR: [tex]u_{2015}\vdots 5[/tex]

 

[matheverytime]

[tex]\left\{\begin{matrix} (u_{n+1}-2u_{n})^2=3u_{n}^2+1 & \\ (u_{n+2}-2u_{n+1})^2=3u_{n+1}^2+1 & \end{matrix}\right.<=>u_{n+1}^2-4u_{n+1}u_{n}+4u_{n}^2-u_{n+2}^2+4u_{n+2}u_{n+1}-4u_{n+1}^2=3u_{n}^2-3u_{n+1}^2<=>-4u_{n+1}u_{n}+u_{n}^2-u_{n+2}^2+4u_{n+2}u_{n+1}=0<=>(u_{n+2}-u_{n})(4u_{n+1}-u_{n}-u_{n+2})=0=>4u_{n+1}-u_{n}-u_{n+2}=0[/tex]
giải phương trình đặt trưng
[tex]-t^2+4t-t=0[/tex]
[tex]u_{n}=(2+\sqrt{3})^nq+(2-\sqrt{3})^np[/tex]
[tex]u_{2}=15[/tex]
=>[tex]\left\{\begin{matrix} \left (2+\sqrt{3} \right )q+\left (2-\sqrt{3} \right )p=4=>p=\frac{4-(2+\sqrt{3})q}{2-\sqrt{3}} & \\ (2+\sqrt{3})^2q+(2-\sqrt{3})^2\left ( \frac{4-(2+\sqrt{3})q}{2-\sqrt{3}} \right )=15 & \end{matrix}\right.=>q=\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}};p=\frac{-2+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}[/tex]
=> [tex]u_{n}=\frac{(2+\sqrt{3})^{n+1}-(2-\sqrt{3})^{n+1}}{2\sqrt{3}}[/tex]
dùng nhị thức newton => chia hết cho 5

 

[nguyentanluc2002@gmail.com]

Bạn có thể chứng minh cụ thể làm sao dùng nhị thức newton để Chứng minh U2015 chia hết cho 5 được không ạ? Cảm ơn bạn