Cho A=[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}[/tex], với n là số tự nhiên >1. Chứng minh [tex]\frac{1}{2\sqrt{n}} <A<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex]
+, chứng minh >
- xét với x=2 =>... (thỏa mãn)
- giả sử mệnh đề đúng với n=k
tức: [tex]A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}>\frac{1}{2\sqrt{k}}[/tex]
cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
thật vậy:
[tex]A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2k+2}>\frac{1}{2\sqrt{k+1}}\\\\ <=> A>\frac{1}{2\sqrt{k}}.\frac{2k+1}{2k+2}>\frac{1}{2\sqrt{k+1}}\\\\ <=> (2k+1).\sqrt{k+1}>(2k+2).\sqrt{k}\\\\ <=> (4k^2+4k+1).(k+1)>4(k^2+2k+1).k\\\\ <=> 4k^3+4k^2+k+4k^2+4k+1>4k^3+8k^2+4k\\\\ <=> k+1>0[/tex] (luôn đúng)
vậy mệnh đề được chứng minh
+, chứng minh <
-Xét với x=2 =>... (thỏa mãn)
-giả sử mệnh đề đúng với n=k
tức: [tex]A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}[/tex]
giờ cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
thật vậy:
[tex]A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{3k+4}}\\\\ <=> A<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}.\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{1}{\sqrt{3k+4}}\\\\ <=> (2k+1).\sqrt{3k+4}<\sqrt{3k+1}.(2k+2)\\\\ <=> (4k^2+4k+1).(3k+4)<(3k+1).(4k^2+8k+4)\\\\ <=> 12k^3+12k^2+3k+16k^2+16k+4<12k^3+24k^2+12k+4k^2+8k+4\\\\ <=> k>0[/tex] (luôn đúng)
vậy mệnh đề được chứng minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
