Dãy số, Cấp số cộng

[lolem1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

BÀI 1: Chứng minh rằng dãy số [TEX](u_n)[/TEX] với [TEX]\left\{ \begin{array}{l} u_1 =2 \\ u_{n+1} = \frac{u_n +1}{2} \end{array} \right.[/TEX] [TEX]n\in N^*[/TEX]

là dãy số giảm và bị chặn dưới

BÀI 2: Cho [TEX]u_1 =1[/TEX] và [TEX]u_n = 2u_{n-1} +3[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]u_n =2^{n+1} -3[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

1, Dễ thấy $u_n > 0$ với mọi n (1)

Đặt $v_n=u_n-1$

Được $v_1=1$ và $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$

\Rightarrow ${v_n}$ là một cấp số nhân, công bội $\dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $v_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$

\Rightarrow $u_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}+1$

Dễ thấy khi n tăng thì $u_n$ giảm

\Rightarrow ${u_n}$ là dãy giảm (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

 

[congchuaanhsang]

2, Đơn giản nhất thì bạn cứ chứng minh quy nạp

Còn ra có thể làm như sau

Đặt $v_{n-1}=u_{n-1}+3$

Được $v_1=4$ và $v_n=2v_{n-1}$

\Rightarrow ${v_n}$ là một cấp số nhân, công bội 2

\Rightarrow $v_n=2^{n+1}$ \Rightarrow $u_n=2^{n+1}-3$