- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Cho dãy số [TEX]U_n[/TEX]:
+ [TEX]U_n[/TEX] gọi là bị chặn dưới khi tồn tại số thưc a sao cho : [TEX]U_n \geq a[/TEX] với mọi n thuộc N*.
+ [TEX]U_n[/TEX] gọi là bị chặn trên khi tồn tại số thưc a sao cho : [TEX]U_n \leq a[/TEX] với mọi n thuộc N*.
[TEX]U_n[/TEX] gọi là bị chặn khi nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.
*Nhận xét: Dãy [TEX]U_n[/TEX] tăng thì bị chặn dưới bởi [TEX]U_1[/TEX].
Dãy [TEX]U_n[/TEX] giảm thì bị chặn trên bởi [TEX]U_1[/TEX].
Việc nhận định được ngay các điều này giúp ta nhanh chóng giải quyết xong bài toán.
Cách làm cụ thể với bài tập dạng này được trình bày dưới đây:
Ví dụ: Xét tính bị chặn của các hàm số sau:
[tex][B]a[/B].\frac{n+2}{n+1}[/tex]
Giải: Mấu chốt ta cần nhận nhanh ra dãy tăng hay giảm, vậy ta có thể tính các giá trị đầu bằng cách sử dụng Mode Table của casio. Nhập hàm [TEX]f(x)=(x-1)/(x+1)[/TEX]. Start = 1 (đại diện cho [TEX]U_1[/TEX]), End= 19. Sau đó xem bảng giá trị, ta dễ thấy dãy có giá trị giảm dần, bắt đầu từ [TEX]U_1=3/2[/TEX].
Khi đã có nhận định, ta xét hiệu: [tex]U_n-\frac{3}{2}=\frac{n+2}{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{1-n}{n+1}\leq 0,\forall n\epsilon N*[/tex]
Do đó, [tex]U_n\leq \frac{3}{2},\forall n\epsilon N*[/tex] , dãy bị chặn trên bởi 3/2.
Tương tự, khi lướt tới [TEX]U_{19}[/TEX], thấy giá trị gần đến 1, ta đoán dãy bị chặn dưới bởi 1. Nên xét hiệu:
[tex]U_n-1=\frac{1}{n+1}>0,\forall n\epsilon N*[/tex]
Vậy dãy bị chặn dưới bởi 1. Do đó dãy bị chặn.
** Chú ý: các bạn cũng có thể làm bằng cách xét hiệu để chứng minh dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm, sau đó kết luận dãy bị chặn trên bởi [TEX]U_1[/TEX], nhưng nếu đã tìm ra giá trị, thì nên xét hiệu với giá trị số, như vậy tính toán đỡ phức tạp hơn.
b. [tex]U_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+2n}[/tex]
Giải: Tương tự câu a, sử dụng table, ta thấy dãy tăng dần từ [TEX]U_1[/TEX]
Ta có [tex]U_1=\frac{1}{\sqrt{3}+2}[/tex]
Vậy ta xét hiệu: [tex]\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+2n}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}n+2n-(\sqrt{n^2+2n}+2n)}{\sqrt{n^2+2n}+2n}=\frac{\sqrt{3}n-\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+2n}+2n}[/tex]
Vì mẫu số hiển nhiên >0, nên ta cần chứng minh tử số [TEX]\geq 0[/TEX], cách dễ nhất khi gặp các hiệu căn thức như thế này, là dùng liên hợp.
Ta có: [tex]\sqrt{3}n-\sqrt{n^2+2n}=\frac{3n^2-(n^2+2n)}{\sqrt{3}n+\sqrt{n^2+2n}}=\frac{2n^2-2n}{\sqrt{3}n+\sqrt{n^2+2n}}[/tex]
[TEX]2n^2-2n \geq 0[/TEX] với mọi [TEX]n\epsilon N*[/TEX], do đó chứng minh xong!
Cũng dựa vào table, ta thấy dãy bị chặn trên bởi 1/2. Xét hiệu:
[tex]\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+2n}-\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+2n}+2n}< 0[/tex]
Do đó dãy bị chặn dưới bởi 1/2. Vậy dãy bị chặn.
c. [tex]U_n=(-1)^ncos\frac{\pi }{2n}[/tex]
Giải: với những dạng đan xen dấu như vậy, ta có thể áp dụng định lý sau:
Nếu: [tex]|U_n|\leq M[/tex] với mọi n, thì dãy bị chặn. Đơn giản vì :
[tex]|U_n|\leq M<=>-M\leq U_n\leq M[/tex] , do đó dãy vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.
Như vậy với ví dụ trên, ta có: [tex]|U_n|=|(-1)^ncos\frac{\pi }{2n}|=|cos\frac{\pi }{2n}|\leq 1[/tex] với mọi n.
Do đó [TEX]U_n[/TEX] là dãy bị chặn.
+ [TEX]U_n[/TEX] gọi là bị chặn dưới khi tồn tại số thưc a sao cho : [TEX]U_n \geq a[/TEX] với mọi n thuộc N*.
+ [TEX]U_n[/TEX] gọi là bị chặn trên khi tồn tại số thưc a sao cho : [TEX]U_n \leq a[/TEX] với mọi n thuộc N*.
[TEX]U_n[/TEX] gọi là bị chặn khi nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.
*Nhận xét: Dãy [TEX]U_n[/TEX] tăng thì bị chặn dưới bởi [TEX]U_1[/TEX].
Dãy [TEX]U_n[/TEX] giảm thì bị chặn trên bởi [TEX]U_1[/TEX].
Việc nhận định được ngay các điều này giúp ta nhanh chóng giải quyết xong bài toán.
Cách làm cụ thể với bài tập dạng này được trình bày dưới đây:
Ví dụ: Xét tính bị chặn của các hàm số sau:
[tex][B]a[/B].\frac{n+2}{n+1}[/tex]
Giải: Mấu chốt ta cần nhận nhanh ra dãy tăng hay giảm, vậy ta có thể tính các giá trị đầu bằng cách sử dụng Mode Table của casio. Nhập hàm [TEX]f(x)=(x-1)/(x+1)[/TEX]. Start = 1 (đại diện cho [TEX]U_1[/TEX]), End= 19. Sau đó xem bảng giá trị, ta dễ thấy dãy có giá trị giảm dần, bắt đầu từ [TEX]U_1=3/2[/TEX].
Khi đã có nhận định, ta xét hiệu: [tex]U_n-\frac{3}{2}=\frac{n+2}{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{1-n}{n+1}\leq 0,\forall n\epsilon N*[/tex]
Do đó, [tex]U_n\leq \frac{3}{2},\forall n\epsilon N*[/tex] , dãy bị chặn trên bởi 3/2.
Tương tự, khi lướt tới [TEX]U_{19}[/TEX], thấy giá trị gần đến 1, ta đoán dãy bị chặn dưới bởi 1. Nên xét hiệu:
[tex]U_n-1=\frac{1}{n+1}>0,\forall n\epsilon N*[/tex]
Vậy dãy bị chặn dưới bởi 1. Do đó dãy bị chặn.
** Chú ý: các bạn cũng có thể làm bằng cách xét hiệu để chứng minh dãy [TEX]U_n[/TEX] là dãy giảm, sau đó kết luận dãy bị chặn trên bởi [TEX]U_1[/TEX], nhưng nếu đã tìm ra giá trị, thì nên xét hiệu với giá trị số, như vậy tính toán đỡ phức tạp hơn.
b. [tex]U_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+2n}[/tex]
Giải: Tương tự câu a, sử dụng table, ta thấy dãy tăng dần từ [TEX]U_1[/TEX]
Ta có [tex]U_1=\frac{1}{\sqrt{3}+2}[/tex]
Vậy ta xét hiệu: [tex]\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+2n}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}n+2n-(\sqrt{n^2+2n}+2n)}{\sqrt{n^2+2n}+2n}=\frac{\sqrt{3}n-\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+2n}+2n}[/tex]
Vì mẫu số hiển nhiên >0, nên ta cần chứng minh tử số [TEX]\geq 0[/TEX], cách dễ nhất khi gặp các hiệu căn thức như thế này, là dùng liên hợp.
Ta có: [tex]\sqrt{3}n-\sqrt{n^2+2n}=\frac{3n^2-(n^2+2n)}{\sqrt{3}n+\sqrt{n^2+2n}}=\frac{2n^2-2n}{\sqrt{3}n+\sqrt{n^2+2n}}[/tex]
[TEX]2n^2-2n \geq 0[/TEX] với mọi [TEX]n\epsilon N*[/TEX], do đó chứng minh xong!
Cũng dựa vào table, ta thấy dãy bị chặn trên bởi 1/2. Xét hiệu:
[tex]\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+2n}-\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+2n}+2n}< 0[/tex]
Do đó dãy bị chặn dưới bởi 1/2. Vậy dãy bị chặn.
c. [tex]U_n=(-1)^ncos\frac{\pi }{2n}[/tex]
Giải: với những dạng đan xen dấu như vậy, ta có thể áp dụng định lý sau:
Nếu: [tex]|U_n|\leq M[/tex] với mọi n, thì dãy bị chặn. Đơn giản vì :
[tex]|U_n|\leq M<=>-M\leq U_n\leq M[/tex] , do đó dãy vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.
Như vậy với ví dụ trên, ta có: [tex]|U_n|=|(-1)^ncos\frac{\pi }{2n}|=|cos\frac{\pi }{2n}|\leq 1[/tex] với mọi n.
Do đó [TEX]U_n[/TEX] là dãy bị chặn.
