đây là câu khó nhất trong đề học kì trường mik

[rinnegan_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

xin mời nếm thử: CMR:
[TEX]\sqrt[2]{x^2+4}+\sqrt[2]{x^2+2x+10}\geq \sqrt[2]{26}[/TEX]

 

[minhtuyb]

Câu này bạn biến đổi một chút là được :
ĐKXĐ: không có Pt đã cho tương đương với:
[TEX]2x^2+2x+14+2\sqrt{(x^2+4)(x^2+2x+10)}\geq 26[/TEX] (Bình phương 2 vế)
[TEX]\Leftrightarrow x^2+x+\sqrt{(x^2+4)(x^2+2x+10)}\geq 6[/TEX](Chuyển vế, chia 2 vế cho 2)
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(x^2+4)(x^2+2x+10)}\geq 6-x-x^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2+4)(x^2+2x+10)\geq (6-x-x^2)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^4+2x^3+14x^2+8x+40\geq x^4+2x^3-11x^2-12x+36[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 25x^2+20x+4\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (5x+2)^2\geq 0[/TEX]. Bất đẳng thức này luôn đúng [TEX]\Rightarrow DPCM[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi: [TEX]5x+2=0\Leftrightarrow x=-\frac{2}{5}[/TEX]
P/s: Đã chỉnh, nhầm dấu chút, bài này làm đúng mà, mình đã thử điểm rơi rùi, bạn coi xem

 

[rinnegan_97]

Câu này bạn biến đổi một chút là được :
ĐKXĐ: không có Pt đã cho tương đương với:
[TEX]2x^2+2x+14+2\sqrt{(x^2+4)(x^2+2x+10)}\geq 26[/TEX] (Bình phương 2 vế)
[TEX]\Leftrightarrow x^2+x+\sqrt{(x^2+4)(x^2+2x+10)}\geq 6[/TEX](Chuyển vế, chia 2 vế cho 2)
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(x^2+4)(x^2+2x+10)}=6-x-x^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2+4)(x^2+2x+10)=(6-x-x^2)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^4+2x^3+14x^2+8x+40\geq x^4+2x^3-11x^2-12x+36[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 25x^2+20x+4\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (5x+2)^2\geq 0[/TEX]. Bất đẳng thức này luôn đúng [TEX]\Rightarrow DPCM[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi: [TEX]5x+2=0\Leftrightarrow x=-\frac{2}{5}[/TEX]

nhìn qua thấy có vẻ pan làm sai thì fai, mik chưa đọc kĩ lắm nhưng mak pan thử coi lại đi, đánh TEX đã sai roy

 

[tuyn]

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
Với 4 số a,b,x,y bất kỳ ta luôn có:
[TEX] \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{x^2+y^2} \geq \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}(1)[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi ay=bx
Thật vậy:
[TEX](1) \Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2 \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \geq a+x)^2+(b+y)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \geq ax+by (2)[/TEX]
(2) luôn đúng theo bdt Bunhiacopxki
Áp dụng:
[TEX]VT= \sqrt{(-x)^2+2^2}+ \sqrt{(1+x)^2+3^2} \geq \sqrt{(-x+1+x)^2+(2+3)^2}= \sqrt{26}[/TEX]
\Rightarrow điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow -x.3=2(1+x) \Leftrightarrow x=-2/5