1.Chứng tỏ rằng: a. Trong 2 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
b. Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3
Hãy phát biểu trường hợp khái quát
2.Chứng tỏ rằng: a. Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
3. Chứng tỏ rằng số có dạng aaa bao giờ cũng chia hết cho 3 và 37
1.
a. Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là $a, a+1 (a\in \mathbb{N})$
Nếu $a\vdots 2 \Rightarrow a=2k (k\in \mathbb{N})$
$a(a+1)=2k(2k+1) \vdots 2 (vì\; 2\vdots 2)$
Nếu $a\; chia\; 2\; dư\; 1 \Rightarrow a=2k+1 (k\in \mathbb{N})$
$a(a+1)=(2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2)=(2k+1).2(k+1) \vdots 2 (vì\; 2\vdots 2)$
Vậy với mọi $a\in \mathbb{N}$ thì $a(a+1)\vdots 2$
b. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $b, b+1, b+2 (a\in \mathbb{N})$
Nếu $b\vdots 2 \Rightarrow b=3k (k\in \mathbb{N})$
$b(b+1)(b+2)=3k(3k+1)(3k+2) \vdots 3 (vì\; 3\vdots 3)$
Nếu $b\; chia\; 3\; dư\; 1 \Rightarrow b=3k+1 (k\in \mathbb{N})$
$b(b+1)(b+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2) = (3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2).3(k+1) \vdots 3 (vì\; 3\vdots 3)$
Nếu $b\; chia\; 3\; dư\; 2 \Rightarrow b=3k+2 (k\in \mathbb{N})$
$b(b+1)(b+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2) = (3k+2)(3k+3)(3k+4)=(3k+2).3(k+1)(3k+4) \vdots 3 (vì\; 3\vdots 3)$
Vậy với mọi $b\in \mathbb{N}$ thì $b(b+1)(b+2)\vdots 3$
Tổng quát: Tích của $n$ số tự nhiên liên tiếp $(n \in \mathbb{N})$ thì chia hết cho $n$
2.
a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $c,c+1,c+2(c\in \mathbb{N})$
Ta có: $c+c+1+c+2=(c+c+c)+(1+2)=3c+3=3(c+1)\vdots 3(vì\; 3\vdots 3)$
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b. Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là $d,d+1,d+2,d+3(d\in \mathbb{N})$
Ta có: $d+d+1+d+2+d+3=(d+d+d+d)+(1+2+3)=4d+6=4d+4+2=4(d+1)+2$
$Vì\; 4(d+1)\vdots 4(vì\; 4 \vdots 4) \; và\; 2 \not{\vdots } 4\; nên\; 4(d+1)+2\not{\vdots } 4$
Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
3.
$\overline{aaa}=111.a=3.37.a(a\in\mathbb{N}|0<a\leq 9)\\3.37.a\vdots 3(vì\; 3\vdots 3)\\3.37.a\vdots 3(vì\; 37\vdots 37)$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
