Toán 9 Dấu của nghiệm

[andrew3629]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 phương trình: [tex]x^2-2px+n=0 (1)[/tex] với nghiêm x1 và x2
và [tex]x^2-2mx+n=0 (2)[/tex] với nghiệm x3 và x4
Tìm điều kiện của p và m để mỗi phương trình có nghiệm xen giữa phương trình kia ( x1<x3<x2<x4)
Mình chú thích thêm để mọi người hiểu đề rồi đấy ạ, giúp mình nhé!

 

[Ngoc Anhs]

Cho 2 phương trình: [tex]x^2-2px+n=0 (1)[/tex] với nghiêm x1 và x2
và [tex]x^2-2mx+n=0 (2)[/tex] với nghiệm x3 và x4
Tìm điều kiện của p và m để mỗi phương trình có nghiệm xen giữa phương trình kia ( x1<x3<x2<x4)
Mình chú thích thêm để mọi người hiểu đề rồi đấy ạ, giúp mình nhé!

Mình ra như này! Không chắc lắm!
[tex](m-p)x_{3}< 0;(m-p)x_{4}>0;p<x _{4}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Cho 2 phương trình: [tex]x^2-2px+n=0 (1)[/tex] với nghiêm x1 và x2
và [tex]x^2-2mx+n=0 (2)[/tex] với nghiệm x3 và x4
Tìm điều kiện của p và m để mỗi phương trình có nghiệm xen giữa phương trình kia ( x1<x3<x2<x4)
Mình chú thích thêm để mọi người hiểu đề rồi đấy ạ, giúp mình nhé!

Cho mình hỏi n có phải tham số không nhỉ?

 

[iceghost]

Cho 2 phương trình: [tex]x^2-2px+n=0 (1)[/tex] với nghiêm x1 và x2
và [tex]x^2-2mx+n=0 (2)[/tex] với nghiệm x3 và x4
Tìm điều kiện của p và m để mỗi phương trình có nghiệm xen giữa phương trình kia ( x1<x3<x2<x4)
Mình chú thích thêm để mọi người hiểu đề rồi đấy ạ, giúp mình nhé!

Thao tác luôn với 4 nghiệm thì mệt lắm, hay là mình cố định thử 2 nghiệm của 1 pt trước rồi tìm điều kiện cho 2 nghiệm kìa nhỉ?

Từ ý tưởng đó, ví dụ mình cố định $x_1$ và $x_2$ đi thì $x_3$ phải nằm trong và $x_4$ phải nằm ngoài. Nói cách khác: ycbt $\iff (x_3 - x_1)(x_3 - x_2) < 0$ và $(x_4 - x_1)(x_4 - x_2) > 0$

Tới đây niềm vui trong việc trình bày lời giải là hoàn toàn của bạn nhé Mình xin lặng lẽ tính toán trong spoiler

Spoiler: Giải thử

$\Delta_1' = p^2 - n > 0$ và $\Delta_2' = m^2 - n > 0$
ycbt $\iff x_3^2 - x_3(x_1 + x_2) + x_1x_2 < 0$ và $x_4^2 - x_4(x_1 + x_2) + x_1x_2 > 0$
$\iff x_3^2 - 2px_3 + n < 0$ và $x_4^2 - 2px_4 + n > 0$ (đẹp nhỉ, như là thay $x_3$ và $x_4$ vào pt vậy...(?))
$\iff (x_3^2 - 2px_3 + n)(x_4^2 - 2px_4 + n) < 0$
$\iff (x_3x_4)^2 + 4p^2 x_3x_4 + n^2 - 2px_3x_4(x_3 + x_4) + n(x_3^2 + x_4^2) - 2np(x_3 + x_4) < 0$
$\iff n^2 + 4np^2 + n^2 - 4mnp + n(4m^2 - 2n) - 4mnp < 0$
$\iff 4n(m^2 + p^2) < 8mnp$
Nếu $n > 0$ thì $m^2 + p^2 < 2mp$ hay... (ừ, luôn sai)
Nếu $n = 0$ thì $0 < 0$ (sai nốt)
Vậy thì $n < 0$! Ngạc nhiên cái là 2 cái $\Delta$ nó tự $> 0$ luôn nên không cần phải lo về $\Delta$ nữa
Khi đó $m^2 + p^2 > 2mp$ hay $(m - p)^2 > 0$ hay $m \ne p$!
Vậy điều kiện: $n < 0$ và $m \ne p$!

Quá đẹp

 

[ankhongu]

Thao tác luôn với 4 nghiệm thì mệt lắm, hay là mình cố định thử 2 nghiệm của 1 pt trước rồi tìm điều kiện cho 2 nghiệm kìa nhỉ?

Từ ý tưởng đó, ví dụ mình cố định $x_1$ và $x_2$ đi thì $x_3$ phải nằm trong và $x_4$ phải nằm ngoài. Nói cách khác: ycbt $\iff (x_3 - x_1)(x_3 - x_2) < 0$ và $(x_4 - x_1)(x_4 - x_2) > 0$

Tới đây niềm vui trong việc trình bày lời giải là hoàn toàn của bạn nhé Mình xin lặng lẽ tính toán trong spoiler

Spoiler: Giải thử

$\Delta_1' = p^2 - n > 0$ và $\Delta_2' = m^2 - n > 0$
ycbt $\iff x_3^2 - x_3(x_1 + x_2) + x_1x_2 < 0$ và $x_4^2 - x_4(x_1 + x_2) + x_1x_2 > 0$
$\iff x_3^2 - 2px_3 + n < 0$ và $x_4^2 - 2px_4 + n > 0$ (đẹp nhỉ, như là thay $x_3$ và $x_4$ vào pt vậy...(?))
$\iff (x_3^2 - 2px_3 + n)(x_4^2 - 2px_4 + n) < 0$
$\iff (x_3x_4)^2 + 4p^2 x_3x_4 + n^2 - 2px_3x_4(x_3 + x_4) + n(x_3^2 + x_4^2) - 2np(x_3 + x_4) < 0$
$\iff n^2 + 4np^2 + n^2 - 4mnp + n(4m^2 - 2n) - 4mnp < 0$
$\iff 4n(m^2 + p^2) < 8mnp$
Nếu $n > 0$ thì $m^2 + p^2 < 2mp$ hay... (ừ, luôn sai)
Nếu $n = 0$ thì $0 < 0$ (sai nốt)
Vậy thì $n < 0$! Ngạc nhiên cái là 2 cái $\Delta$ nó tự $> 0$ luôn nên không cần phải lo về $\Delta$ nữa
Khi đó $m^2 + p^2 > 2mp$ hay $(m - p)^2 > 0$ hay $m \ne p$!
Vậy điều kiện: $n < 0$ và $m \ne p$!

Quá đẹp

Cho em hỏi tại sao bên trên lại là dấu tương đương ạ ? Em nghĩ là ở trên phải là dấu suy ra chứ, do nếu suy ngước lại thì sẽ có 2 TH là [tex]x^{2}_{3} - 2px_{3} + n < 0, x^{2}_{4} - 2px_{4} + n > 0[/tex] và ngược lại mà ạ ?

 

[iceghost]

View attachment 125433
Cho em hỏi tại sao bên trên lại là dấu tương đương ạ ? Em nghĩ là ở trên phải là dấu suy ra chứ, do nếu suy ngước lại thì sẽ có 2 TH là [tex]x^{2}_{3} - 2px_{3} + n < 0, x^{2}_{4} - 2px_{4} + n > 0[/tex] và ngược lại mà ạ ?

Một câu hỏi hay

Nói đơn giản: $x_3$ và $x_4$ có vai trò như nhau (bỏ luôn điều kiện $x_3 < x_4$) nên cả hai TH là như nhau