Ta có $A=\dfrac{x^2-z^2}{y+z}+\dfrac{z^2-y^2}{x+y}+\dfrac{y^2-x^2}{x+z}\\=\dfrac{(x+z)(x-z)}{y+z}+\dfrac{(z+y)(z-y)}{x+y}+\dfrac{(y+x)(y-x)}{x+z}$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a\\y+z=b\\ z+x=c \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x-z=a-b\\z-y=c-a\\y-x=b-c \end{matrix}\right.$
Do $x,y,z > 0 \to a,b,c >0$
Khi đó $A=\dfrac{c(a-b)}{b}+\dfrac{b(c-a)}{a}+\dfrac{a(b-c)}{c}\\=\dfrac{ca-bc}{b}+\dfrac{bc-ab}{a}+\dfrac{ab-ca}{c}\\=\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-(a^2bc+ab^2c+abc^2)}{abc}$
Dễ chứng minh được bđt $m^2+n^2+p^2 \ge mn+np+mp$ (Dùng biến đổi tương đương)
nên ta có $ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge a^2bc+ab^2c+abc^2 \\ \to a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-(a^2bc+ab^2c+abc^2) \ge 0$
Lại có $ a,b,c > 0 \to A \ge 0$
Vậy $\dfrac{x^2-z^2}{y+z}+\dfrac{z^2-y^2}{x+y}+\dfrac{y^2-x^2}{x+z} \ge 0$. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn