đặt ẩn phụ

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]cho (x+z)(y+z)=1 cm: \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2} \geq 4[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $a=z+x; b=z+y$

Có $ab=1$

Bất đẳng thức cần chứng minh: $\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \ge 4$

$VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2+ \dfrac{1}{a^2}-2}+\dfrac{1}{a^2}+a^2$

Đặt $t=a^2+\dfrac{1}{a^2} \ge 2$

$VT=\dfrac{1}{t-2}+t=\dfrac{1}{t-2}+t-2+2 \ge 4$

Đẳng thức xảy ra khi $t=3$

Từ đó suy ra $x,y,z$

 

[congchuaanhsang]

[TEX]cho (x+z)(y+z)=1 cm: \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2} \geq 4[/TEX]

Không đặt ẩn phụ thì có thể giải như sau

$\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(x+z)^2}+\dfrac{1}{(y+z)^2}$

$=\dfrac{1}{(x-y)^2}+(\dfrac{1}{x+z}-\dfrac{1}{y+z})^2+2$

$=\dfrac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2$ (do $(x+z)(y+z)=1$)

\geq $2+2=4$ (Cauchy)

@angle Đề đã yêu cầu là đặt ẩn phụ, k cần trình bày cách khác.