Đặt $a=z+x; b=z+y$
Có $ab=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh: $\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \ge 4$
$VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2+ \dfrac{1}{a^2}-2}+\dfrac{1}{a^2}+a^2$
Đặt $t=a^2+\dfrac{1}{a^2} \ge 2$
$VT=\dfrac{1}{t-2}+t=\dfrac{1}{t-2}+t-2+2 \ge 4$
Đẳng thức xảy ra khi $t=3$
Từ đó suy ra $x,y,z$