- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Phương trình lượng giác đối xứng
phương trình có dạng [tex]a.(sinx+ cosx)+b.sinx.cosx+c=0[/tex] hoặc tương tự.
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:
[tex]t=sinx+ cosx<=>t^2=(sinx+ cosx)<=>t^2=1+ 2sinx.cosx<=>sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]
chú ý khoảng giá trị của t: [tex]t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=>-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}[/tex]
Thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:
[tex]a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0[/tex]
Để giải phương trình này ta cũng đặt:
[tex]t=sinx-cosx<=>t^2=(sinx-cosx)<=>t^2=1-2sinx.cosx<=>sinx.cosx=\frac{1-t^2}{2}[/tex]
thay vào phương trình ban đầu ta thu được phương trình theo ẩn t.
ví dụ 1: giải phương trình: [tex]sinx+cosx-4sinx.cosx-1=0[/tex]
giải:
theo phương pháp, ta đặt:
[tex]t=sinx+ cosx<=>t^2=(sinx+ cosx)<=>t^2=1+ 2sinx.cosx<=>sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]
thay vào phương trình ban đầu:
[tex]t-4.\frac{t^2-1}{2}-1=0<=>-2t^2+t+1=0<=>t=1\vee t=-\frac{1}{2}[/tex]
với t=1, ta có: [tex]sinx+cosx=1<=>\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=1<=>x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\vee x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}+k2\pi<=>x=k2\pi\vee \frac{\pi}{2}+k2\pi[/tex]
với [tex]t=-\frac{1}{2}[/tex], ta có: [tex]\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}<=>x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\vee x+\frac{\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{6}+k2\pi<=>x+=-\frac{5\pi}{12}+k2\pi\vee x=\frac{11\pi}{12}+k2\pi[/tex]
2. đặt ẩn khác
một số bài toán không có dạng đối xứng, các giá trị tanx, tan2x, sin2x,.. làm bài toán trở nên khó khăn xử lý theo các công thức lượng giác.
khi đó, có thể nghỉ đến cách đặt ẩn sau: [tex]t=tan\frac{x}{2} => sinx = \frac{2t}{1+t^2}; cosx = (1-t^2)(1+t^2); tanx =\frac{2t}{1-t^2}[/tex]
với cách đặt như trên, ta đưa phương trình lượng giác đã cho trở thành phương trình thường gặp của đa thức, phân thức.
ví dụ 2: giải phương trình:
[tex]sin4x=tanx[/tex]
giải:
theo cách đặt ẩn trên:
đặt [tex]t=tanx => sin2x = \frac{2t}{1+t^2}; cos2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]
ta có: [tex]sin4x=tanx<=>2sin2x.cos2x=tanx[/tex]
thay các biến đã đặt, ta có: [tex]2.\frac{2t}{t^2+1}.\frac{1-t^2}{t^2+1}=t<=>4t(1-t^2)=t(t^2+1)^2<=>t(t^4+6t^2-3)=0<=>t=0\vee t^2=-3\pm \sqrt{12}<=>tanx=0\vee tan^2x=\sqrt{12}-3[/tex]
phương trình được đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
phương trình có dạng [tex]a.(sinx+ cosx)+b.sinx.cosx+c=0[/tex] hoặc tương tự.
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:
[tex]t=sinx+ cosx<=>t^2=(sinx+ cosx)<=>t^2=1+ 2sinx.cosx<=>sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]
chú ý khoảng giá trị của t: [tex]t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=>-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}[/tex]
Thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:
[tex]a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0[/tex]
Để giải phương trình này ta cũng đặt:
[tex]t=sinx-cosx<=>t^2=(sinx-cosx)<=>t^2=1-2sinx.cosx<=>sinx.cosx=\frac{1-t^2}{2}[/tex]
thay vào phương trình ban đầu ta thu được phương trình theo ẩn t.
ví dụ 1: giải phương trình: [tex]sinx+cosx-4sinx.cosx-1=0[/tex]
giải:
theo phương pháp, ta đặt:
[tex]t=sinx+ cosx<=>t^2=(sinx+ cosx)<=>t^2=1+ 2sinx.cosx<=>sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]
thay vào phương trình ban đầu:
[tex]t-4.\frac{t^2-1}{2}-1=0<=>-2t^2+t+1=0<=>t=1\vee t=-\frac{1}{2}[/tex]
với t=1, ta có: [tex]sinx+cosx=1<=>\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=1<=>x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\vee x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}+k2\pi<=>x=k2\pi\vee \frac{\pi}{2}+k2\pi[/tex]
với [tex]t=-\frac{1}{2}[/tex], ta có: [tex]\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}<=>x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\vee x+\frac{\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{6}+k2\pi<=>x+=-\frac{5\pi}{12}+k2\pi\vee x=\frac{11\pi}{12}+k2\pi[/tex]
2. đặt ẩn khác
một số bài toán không có dạng đối xứng, các giá trị tanx, tan2x, sin2x,.. làm bài toán trở nên khó khăn xử lý theo các công thức lượng giác.
khi đó, có thể nghỉ đến cách đặt ẩn sau: [tex]t=tan\frac{x}{2} => sinx = \frac{2t}{1+t^2}; cosx = (1-t^2)(1+t^2); tanx =\frac{2t}{1-t^2}[/tex]
với cách đặt như trên, ta đưa phương trình lượng giác đã cho trở thành phương trình thường gặp của đa thức, phân thức.
ví dụ 2: giải phương trình:
[tex]sin4x=tanx[/tex]
giải:
theo cách đặt ẩn trên:
đặt [tex]t=tanx => sin2x = \frac{2t}{1+t^2}; cos2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]
ta có: [tex]sin4x=tanx<=>2sin2x.cos2x=tanx[/tex]
thay các biến đã đặt, ta có: [tex]2.\frac{2t}{t^2+1}.\frac{1-t^2}{t^2+1}=t<=>4t(1-t^2)=t(t^2+1)^2<=>t(t^4+6t^2-3)=0<=>t=0\vee t^2=-3\pm \sqrt{12}<=>tanx=0\vee tan^2x=\sqrt{12}-3[/tex]
phương trình được đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
