Từ đề có $A(0,c), M(m,0), N(n,0)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $y$: $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$
Phương trình bậc 3 mà có 2 nghiệm thì phải có 1 nghiệm là kép.
Nếu nghiệm kép đó là $x = m$ thì tiếp tuyến tại $M$ trùng trục hoành, cắt $Oy$ tại $A$ trùng $O$. Rõ ràng là không được vì $c < 0$ nên $A(0,c) \not\equiv O$
Từ đó pt sẽ có nghiệm kép $x = n$ và thêm một nghiệm $x = m$. Có thể viết lại pt $(C)$ như sau: $y = (x-n)^2(x-m) = x^3 -(2n+m)x^2 + (2mn+n^2)x - mn^2$
Suy ra $a = -(2n+m), b = 2mn+n^2, c = -mn^2$ hay $A(0,-mn^2)$
Do $c < 0$ nên $m > 0$ và $n \ne 0$
$y' = 3x^2 - 2(2n+m)x + 2mn+n^2$
Tiếp tuyến tại $M$ có dạng $y = y'(m) (x-m)$
Do tiếp tuyến đi qua $A(0,-mn^2)$ nên $-mn^2 = y'(m) \cdot (-m)$
$\iff -mn^2 = (3m^2 - 2(2n+m) \cdot m + 2mn + n^2) \cdot -m$
$\iff n^2 = m^2 - 2mn + n^2$ (do $m > 0$ nên chia hai vế cho $m$)
$\iff m = 2n$
Tới đây có $A(0,-2n^3), M(2n,0), N(n,0)$.
Tính $\vec{AM}(2n,2n^3)$ và $\vec{AN}(n,2n^3)$
Có $S_{AMN} = \dfrac12 AM \cdot AN \cdot \cos \alpha$ ($\alpha = \widehat{MAN}$, ghi cho gọn)
$= \dfrac12 \sqrt{AM^2 \cdot AN^2 - AM^2 \cdot AN^2 \cdot \sin^2 \alpha}$
$= \dfrac12 \sqrt{AM^2 \cdot AN^2 - (\vec{AM} \cdot \vec{AN})^2}$
$= \dfrac12 \sqrt{(4n^2 + 4n^6)(n^2 + 4n^6) - (2n^2 + 4n^6)^2}$
$= \dfrac12 \sqrt{4n^8}$
$= n^4$ (có một công thức nhanh để tính diện tích, mà quên rồi nên chứng minh lại luôn
nhớ mang máng là liên quan tới tích có hướng )
$S_{AMN} = 1$ nên $n = \pm 1$, do $m = 2n > 0$ nên nhận $n = 1 \implies m = 2$
Cuối cùng $a+b+c = -(2 + 2) + 4 + 1 - 2 = -1$. Chọn A!