- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Một trong những bài toán ta có thể gặp phải đó là biện luận m để pt bậc 3, bậc 4 có các nghiệm tạo thành 1 cấp số cộng, hay 1 cấp số nhân. Vậy ta giải bài toán đó thế nào?
Trước tiên ta có định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3:
Xét pt [TEX]ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX](a khác 0) , ta có hệ thức Vi-ét:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}\\ x_1x_2x_3=\frac{-d}{a} \end{matrix}\right.[/tex]
Ví dụ 1: Cho hàm số [TEX]y=x^3-3x^2-9x+m[/TEX]. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt tạo thành 1 cấp số cộng.
Lời giải:
Theo Vi-ét thì:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=3\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-9\\ x_1x_2x_3=-m \end{matrix}\right.[/tex]
Để 3 nghiệm tạo thành 1 CSC:
[tex]x_1+x_3=2x_2[/tex] , thay vào hệ thức (1) ta được [TEX]3x_2=3<=>x_2=1[/TEX]
Giờ hoàn toàn có thể thay x=1 vào pt đầu để tìm m, vì nó là nghiệm của pt y=0 mà. Còn hệ thức cứ viết ra để đó thôi.
[TEX]y(1)=0<=>m-11=0<=>m=11[/TEX]
Giờ ta dùng casio nghiệm thử lại m=11, thấy máy trả về 3 nghiệm :
[tex]x_1=1-2\sqrt{3};x_2=1;x_3=1+2\sqrt{3}[/tex] , 3 nghiệm này nghiệm đúng là 1 cấp số cộng, vậy m=11 thỏa mãn.
Ví dụ 2: Cho hàm số: [TEX]y=x^3+ax+b[/TEX]. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt tạo thành 1 cấp số nhân.
Lời giải:
Pt đường thẳng bất kỳ có dạng: [TEX]y=kx+m[/TEX]
Pt hoành độ giao điểm là: [TEX]x^3+(a-k)x+b-m=0[/TEX]
Theo định lý Vi-ét:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=0\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a-k\\ x_1x_2x_3=m-b \end{matrix}\right.[/tex]
Để 3 nghiệm đó tạo thành 1 CSN thì: [tex]x_1x_3=x_2^2[/tex]
Thay vào hệ thức số 2 ( ghi nhớ luôn thay vào đó để làm nhanh nhất có thể):
[tex]x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=x_1x_2+x_2x_3+x_2^2=x_2(x_1+x_2+x_3)=x_2.0=0=>x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=0[/tex]
Mà: [tex]x_1+x_2+x_3=0 =>(x_1+x_2+x_3)^2=0<=>x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=0<=>x_1^2+x_2^2+x_3^2=0<=>x_1=x_2=x_3=0[/tex]
Điều này trái với yêu cầu 3 nghiệm phân biệt. Vậy không có đường thẳng nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
**Với dạng hàm trùng phương trình nhìn chung nó vẫn là về pt bậc 2:
Ví dụ 3: Cho hàm số [TEX]y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1[/TEX]. Tìm m để y cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt tạo thành 1 cấp số cộng
Giải:
Biến đổi ta có : [TEX]x^4-2(m+1)x^2+m^2+2m+1-m^2=0[/TEX]
[TEX]<=>(x^2-(m+1))^2-m^2=0[/TEX]
<=>[TEX](x^2-1)(x^2-(2m+1))=0[/TEX]
<=>[tex]x=1;x=-1;x=\sqrt{2m+1}, x=-\sqrt{2m+1} (m>\frac{-1}{2}, m \neq 0)[/tex]
Do tính đối xứng, để 4 nghiệm lập thành CSC thì chỉ cần 3 ngiệm đầu lập thành CSC là được.
Trường hợp 1: [TEX]\sqrt{2m+1}>1[/TEX]
Để lập thành CSC: [tex]\sqrt{2m+1}-1=1-(-1)<=>\sqrt{2m+1}=3<=>m=4[/tex]
Trường hợp 2: [TEX]\sqrt{2m+1}<1[/TEX]
Để lập thành CSC: [tex]1-\sqrt{2m+1}=\sqrt{2m+1}-(-\sqrt{2m+1})<=>\sqrt{2m+1}=\frac{1}{3}<=>m=\frac{-4}{9}[/tex]
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Trường hợp cả 2 nghiệm đều là căn thì các bạn vẫn làm như vậy, nếu khó giải hãy đưa vào casio solve nghiệm m .
Trước tiên ta có định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3:
Xét pt [TEX]ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX](a khác 0) , ta có hệ thức Vi-ét:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}\\ x_1x_2x_3=\frac{-d}{a} \end{matrix}\right.[/tex]
Ví dụ 1: Cho hàm số [TEX]y=x^3-3x^2-9x+m[/TEX]. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt tạo thành 1 cấp số cộng.
Lời giải:
Theo Vi-ét thì:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=3\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-9\\ x_1x_2x_3=-m \end{matrix}\right.[/tex]
Để 3 nghiệm tạo thành 1 CSC:
[tex]x_1+x_3=2x_2[/tex] , thay vào hệ thức (1) ta được [TEX]3x_2=3<=>x_2=1[/TEX]
Giờ hoàn toàn có thể thay x=1 vào pt đầu để tìm m, vì nó là nghiệm của pt y=0 mà. Còn hệ thức cứ viết ra để đó thôi.
[TEX]y(1)=0<=>m-11=0<=>m=11[/TEX]
Giờ ta dùng casio nghiệm thử lại m=11, thấy máy trả về 3 nghiệm :
[tex]x_1=1-2\sqrt{3};x_2=1;x_3=1+2\sqrt{3}[/tex] , 3 nghiệm này nghiệm đúng là 1 cấp số cộng, vậy m=11 thỏa mãn.
Ví dụ 2: Cho hàm số: [TEX]y=x^3+ax+b[/TEX]. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt tạo thành 1 cấp số nhân.
Lời giải:
Pt đường thẳng bất kỳ có dạng: [TEX]y=kx+m[/TEX]
Pt hoành độ giao điểm là: [TEX]x^3+(a-k)x+b-m=0[/TEX]
Theo định lý Vi-ét:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=0\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a-k\\ x_1x_2x_3=m-b \end{matrix}\right.[/tex]
Để 3 nghiệm đó tạo thành 1 CSN thì: [tex]x_1x_3=x_2^2[/tex]
Thay vào hệ thức số 2 ( ghi nhớ luôn thay vào đó để làm nhanh nhất có thể):
[tex]x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=x_1x_2+x_2x_3+x_2^2=x_2(x_1+x_2+x_3)=x_2.0=0=>x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=0[/tex]
Mà: [tex]x_1+x_2+x_3=0 =>(x_1+x_2+x_3)^2=0<=>x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=0<=>x_1^2+x_2^2+x_3^2=0<=>x_1=x_2=x_3=0[/tex]
Điều này trái với yêu cầu 3 nghiệm phân biệt. Vậy không có đường thẳng nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
**Với dạng hàm trùng phương trình nhìn chung nó vẫn là về pt bậc 2:
Ví dụ 3: Cho hàm số [TEX]y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1[/TEX]. Tìm m để y cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt tạo thành 1 cấp số cộng
Giải:
Biến đổi ta có : [TEX]x^4-2(m+1)x^2+m^2+2m+1-m^2=0[/TEX]
[TEX]<=>(x^2-(m+1))^2-m^2=0[/TEX]
<=>[TEX](x^2-1)(x^2-(2m+1))=0[/TEX]
<=>[tex]x=1;x=-1;x=\sqrt{2m+1}, x=-\sqrt{2m+1} (m>\frac{-1}{2}, m \neq 0)[/tex]
Do tính đối xứng, để 4 nghiệm lập thành CSC thì chỉ cần 3 ngiệm đầu lập thành CSC là được.
Trường hợp 1: [TEX]\sqrt{2m+1}>1[/TEX]
Để lập thành CSC: [tex]\sqrt{2m+1}-1=1-(-1)<=>\sqrt{2m+1}=3<=>m=4[/tex]
Trường hợp 2: [TEX]\sqrt{2m+1}<1[/TEX]
Để lập thành CSC: [tex]1-\sqrt{2m+1}=\sqrt{2m+1}-(-\sqrt{2m+1})<=>\sqrt{2m+1}=\frac{1}{3}<=>m=\frac{-4}{9}[/tex]
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Trường hợp cả 2 nghiệm đều là căn thì các bạn vẫn làm như vậy, nếu khó giải hãy đưa vào casio solve nghiệm m .
