a) Ta có:
M = [tex](\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x\sqrt{x} - 1}) . \frac{3\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x}} x\geq 0; x \neq 1[/tex] (ĐKXĐ: [tex]x\geq 0; x \neq 1[/tex])
M = [tex][\frac{x + \sqrt{x} + 1 - 1}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}].[\frac{3(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}][/tex]
M = [tex][\frac{x + \sqrt{x} + 1 - 1}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}].[\frac{3(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}][/tex]
M = [tex]\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}.\frac{3(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}[/tex]
M = [tex]\frac{3}{x + \sqrt{x} + 1}[/tex]
b) Để M < 1 thì [tex]\frac{3}{x + \sqrt{x} + 1}[/tex] < 1
[tex]\Leftrightarrow \frac{3 - x - \sqrt{x} - 1}{x + \sqrt{x} + 1}[/tex] < 0
[tex]\Leftrightarrow \frac{2 - x - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} < 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x + \sqrt{x} - 2}{x + \sqrt{x} + 1} > 0[/tex] (1)
Ta lại có: x + [tex]\sqrt{x}[/tex] + 1 = [tex](\sqrt{x} + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có: x + [tex]\sqrt{x}[/tex] - 2 > 0
[tex]\Leftrightarrow (\sqrt{x} + \frac{1}{2})^{2} - \frac{9}{4} > 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (\sqrt{x} + \frac{1}{2})^{2} > \frac{9}{4}[/tex]
TH1: [tex]\sqrt{x} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x} > 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x > 1[/tex]
TH2: [tex]\sqrt{x} + \frac{1}{2} < -\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x} < -2 (vô lí vì \sqrt{x} \geq 0)[/tex]
c) Để M = [tex]\frac{4}{5}[/tex] thì [tex]\frac{3}{x + \sqrt{x} + 1}[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 15 = 4x + 4\sqrt{x} + 4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -4x - 4\sqrt{x} + 11 = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4x + 4\sqrt{x} - 11 = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2\sqrt{x} + 1)^{2} - 12 = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2\sqrt{x} + 1 + \sqrt{12})(2\sqrt{x} + 1 - \sqrt{12}) = 0[/tex]
TH1: [tex]2\sqrt{x} + 1 + \sqrt{12} = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\sqrt{x} = -1 - \sqrt{12}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{-1 - \sqrt{12}}{2} (vô lí vì \sqrt{x} \geq 0)[/tex]
TH2: [tex]2\sqrt{x} + 1 - \sqrt{12} = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\sqrt{x} = \sqrt{12} - 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{\sqrt{12} - 1}{2}
[tex]\Leftrightarrow x = \frac{13 - 4\sqrt{3}}{4}[/tex][/tex]
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