Toán 9 Đại số

[Nguyen Lai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0, a+b+c=18
CMR
[tex]\frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq 9[/tex]

 

[tfs-akiranyoko]

[tex]Schwarz:\frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}= 9\\"=":a=b=c=6[/tex]

 

[7 1 2 5]

Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
Khi đó:[tex]\left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c & \\ \frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{c+a}\geq \frac{c}{a+b} & \end{matrix}\right.[/tex]
Áp dụng BĐT Chebyshev với 2 dãy đon điệu cùng chiều, ta có:
[tex]3(a.\frac{a}{b+c}+b.\frac{b}{c+a}+c.\frac{c}{a+b})\geq (a+b+c)(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq 18(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}):3[/tex]
Mà [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq 18.\frac{3}{2}:3[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq 9[/tex]