Toán 9 Đại số

[Mạn Châu Sa Hoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c = 3
Tìm Min của [tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Theo BĐT AM-GM:
[tex]\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{(a+1)b^2}{b^2+1}\geq a+1-\frac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/tex]
Chứng minh tương tự với hai cặp số còn lại ta có:
[tex]\frac{b+1}{c^2+1}\geq b+1-\frac{bc+c}{2}\\ \frac{c+1}{a^2+1}\geq c+1-\frac{ca+a}{2}\\ \Rightarrow A=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\geq (a+1-\frac{ab+b}{2})+(b+1-\frac{bc+c}{2})+(c+1-\frac{ca+a}{2})\\ \Rightarrow A\geq 3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\geq 3[/tex] [tex](a+b+c-ab-bc-ca\geq 0)[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
* Cái đoạn [tex]a+b+c-ab-bc-ca\geq[/tex]0 bạn suy ra BĐT này: [tex](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)[/tex] (chứng minh BĐT này không khó)