Theo BĐT AM-GM:
b2+1a+1=a+1−b2+1(a+1)b2≥a+1−2bb2(a+1)=a+1−2ab+b
Chứng minh tương tự với hai cặp số còn lại ta có:
c2+1b+1≥b+1−2bc+ca2+1c+1≥c+1−2ca+a⇒A=b2+1a+1+c2+1b+1+a2+1c+1≥(a+1−2ab+b)+(b+1−2bc+c)+(c+1−2ca+a)⇒A≥3+2a+b+c−ab−bc−ca≥3 (a+b+c−ab−bc−ca≥0)
Dấu "=" xảy ra
⇔a=b=c=1
* Cái đoạn
a+b+c−ab−bc−ca≥0 bạn suy ra BĐT này:
(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca) (chứng minh BĐT này không khó)