Toán Đại số

[huetran12341@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4yx + 4yz + 3xz = 3xyz
Tìm GTNN của biểu thức: P = [tex]\frac{2(x+y)^{2}}{2x+3y} + \frac{(y+2z)^{2}}{2y+z}+\frac{(2z+x)^{2}}{z+2x}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4yx + 4yz + 3xz = 3xyz
Tìm GTNN của biểu thức: P = [tex]\frac{2(x+y)^{2}}{2x+3y} + \frac{(y+2z)^{2}}{2y+z}+\frac{(2z+x)^{2}}{z+2x}[/tex]

Áp dụng BĐT phụ [tex](a+b)^{2}\geq 4ab[/tex] và [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex] với a,b,c dương ta được
$P\geq \frac{2.4xy}{2x+3y}+\frac{4y.2z}{2y+z}+\frac{4.2z.x}{z+2x}$
$=8.(\frac{xy}{2x+3y}+\frac{yz}{2y+z}+\frac{zx}{z+2x})$
$= 8.(\frac{1}{\frac{2}{y}+\frac{3}{x}}+\frac{1}{\frac{2}{z}+\frac{1}{y}}+\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{2}{z}})$
$\geq 8.\frac{9}{\frac{2}{y}+\frac{3}{x}+\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{2}{z}}$
$=\frac{72}{\frac{3}{y}+\frac{4}{x}+\frac{4}{z}}$
$=\frac{72}{\frac{4yz+4yz+3xz}{xyz}}$
$=\frac{72}{\frac{3xyz}{xyz}}=24$

 

[Tiểu tương]

Áp dụng BĐT phụ [tex](a+b)^{2}\geq 4ab[/tex] và [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex] với a,b,c dương ta được
$P\geq \frac{2.4ab}{2x+3y}+\frac{4y.2z}{2y+z}+\frac{4.2z.x}{z+2x}$
$=8.(\frac{xy}{2x+3y}+\frac{yz}{2y+z}+\frac{zx}{z+2x})$
$= 8.(\frac{1}{\frac{2}{y}+\frac{3}{x}}+\frac{1}{\frac{2}{z}+\frac{1}{y}}+\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{2}{z}})$
$\geq 8.\frac{9}{\frac{2}{y}+\frac{3}{x}+\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{2}{z}}$
$=\frac{72}{\frac{3}{y}+\frac{4}{x}+\frac{4}{z}}$
$=\frac{72}{\frac{4yz+4yz+3xz}{xyz}}$
$=\frac{72}{\frac{3xyz}{xyz}}=24$

cái đầu tiên phải là x, y chứ sao lại là a,b
#Ann: Chỉ là do thói quen của mình thôi bạn :v Ok. Đã sửa. Cảm ơn vì đã nhắc nhở.