Đại số

[nguyenquynang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho x, y, z là các số dương thỏa mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]
[TEX]CM: \sqrt[2]{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt[2]{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt[2]{2x^2+xz+2z^2}\geq5[/TEX]
2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a>b, ab=1
Cm [TEX]\frac{a^2+b^2}{a-b}\geq2\sqrt[2]{2}[/TEX]
3. Cho 2 số nguyên dương a, b. Gọi q & r lần lượt là thương và dư trong phép chia [TEX]a^2+b^2[/TEX] cho a+b. Tìm các cặp số a, b sao cho [TEX]q^2+1=2010[/TEX]
4. Cho [TEX]x\geq xy+1[/TEX]
Tìm Max [TEX]P=\frac{3xy}{x^2+y^2}[/TEX]

Các bác giúp em nha cảm ơn các bác nhìu

 

[demon311]

Bài 3:
Ta có:
[TEX]\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{a^2+b^2-2ab+2ab}{a-b}=a-b+\frac{2ab}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}[/TEX]
Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số dương [TEX](a-b)[/TEX] và [TEX]\frac{2}{a-b}[/TEX] ta có:
[TEX](a-b)+\frac{2}{a-b}\geq2.\sqrt{\frac{2(a-b)}{a-b}}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{a^2+b^2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq2\sqrt{2}[/TEX](dpcm)

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzz

1. cho x, y, z là các số dương thỏa mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]
[TEX]CM: \sqrt[2]{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt[2]{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt[2]{2x^2+xz+2z^2}\geq5[/TEX]

ta có BĐT: $x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}$ và $x^2+xy+y^2 \ge \frac{3(x+y)^2}{4}$
vì 2 BĐT đều tương đương $(x-y)^2 \ge 0$ (đúng). Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$
cộng 2 BĐT trên vế theo vế có
$2x^2+xy+2y^2 \ge \frac{5(x+y)^2}{4}$
\Rightarrow $\sqrt{2x^2+xy+2y^2} \ge \frac{\sqrt{5}(x+y)}{2}$
tương tự có $\sqrt{2y^2+yz+2z^2} \ge \frac{\sqrt{5}(y+z)}{2}$
và $\sqrt{2x^2+xz+2z^2} \ge \frac{\sqrt{5}(z+x)}{2}$

\Rightarrow $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2x^2+xz+2z^2} \ge \frac{\sqrt{5}.2(x+y+z)}{2} = \sqrt{5}$