Gọi a,b à 2 nghiệm của pt[TEX] x^2 -x-1=0[/TEX]
CMR [TEX]P= a+b+a^3+b^3; Q= a^2+b^2+a^4+b^4 [/TEX]và[TEX]R= a^{2001}+b^{2001}+a^{2003}+b^{2003}[/TEX] là những số nguyên chia hết cho 5.
Áp dụng hệ thức Viét , ta có :
[tex] \left\{\begin{array}{l}a + b = 1\\ab = -1\end{array}\right. [/tex]
Với P , Q, dễ dàng tính được : P = 5 , Q = 10
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh với mọi n > 2 ( [tex] k \in Z [/tex] )
Ta luôn có : [tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{ n + 2} \in Z [/tex] và [tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{ n + 2} \vdots 5[/tex]
Ta thấy , với n = 1 , n = 2 [tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{n + 2} \in Z [/tex]
Giả sử , điều đó đúng với n = 1,2...k. Ta cần chứng minh :
[tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{ n + 2} \in Z [/tex] đúng với n = k + 1
Thật vậy : Ta có
[tex] ( a^k + b^k + a^{k + 2} + b^{k + 2} ) [/tex]
[tex] = ( a^k + b^k + a^{k + 2} + b^{k + 2} ).( a + b ) [/tex] ( do a + b = 1)
[tex] = a^{ k + 1} + a.b^k + a^{ k + 3 } + a.b^{ k + 2} + b.a^k + b^{k + 1} + b.a^{ k + 2 } + b^{ k + 3 } [/tex]
[tex] = ( a^{ k + 1} + b^{k + 1} + a^{ k + 3 } + b^{ k + 3 }) + ( a.b^k + a.b^{ k + 2} + b.a^k + b.a^{ k + 2 } ) [/tex]
[tex] = ( a^{ k + 1} + b^{k + 1} + a^{ k + 3 } + b^{ k + 3 }) - (b^{k - 1} + b^{ k + 1} + a^{ k - 1} + a^{ k + 1} ) [/tex]
[tex] => ( a^{ k + 1} + b^{k + 1} + a^{ k + 3 } + b^{ k + 3 }) = ( a^k + b^k + a^{k + 2} + b^{k + 2} ) + (b^{k - 1} + b^{ k + 1} + a^{ k - 1} + a^{ k + 1} ) \in Z[/tex]
(theo giả thiết quy nạp )
Ta cũng làm tương tự để chứng minh : [tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{ n + 2} \vdots 5 [/tex].
Vậy với mọi [latex] n \in N [/latex] , ta luôn có :
[tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{ n + 2} \in Z [/tex]. và [tex] a^{n} + b^{n} + a^{n + 2} + b^{ n + 2} \vdots 5 [/tex].
Vậy kết luận P,Q,R là số nguyên chia hết cho 5
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn