Đại số [toán 8] bài 10

[mylinh115]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài tập
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC biết:
(1+a/b ) (1+ c/b) (1+a/c)= 8
c/m: tam giác ABC là tam giác đều

 

[iceghost]

Chắc đề là :

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC biết:
(1+b/a ) (1+ c/b) (1+a/c)= 8
c/m: tam giác ABC là tam giác đều

Do $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $a,b,c>0$
Áp dụng bđt Cauchy cho hai số dương ta có :
$a+b\ge 2\sqrt{ab} \implies \dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a} \ge \dfrac{2\sqrt{ab}}{a} \\
b+c\ge 2\sqrt{bc} \implies \dfrac{b+c}{b}=1+\dfrac{c}{b} \ge \dfrac{2\sqrt{bc}}{b} \\
c+a\ge 2\sqrt{ac} \implies \dfrac{c+a}{c}=1+\dfrac{a}{c} \ge \dfrac{2\sqrt{ac}}{c} \\
\implies (1+\dfrac{b}{a})(1+\dfrac{c}{b})(1+\dfrac{a}{c}) \ge \dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}}{abc}= \dfrac{8\sqrt{ab.bc.ac}}{abc}= \dfrac{8\sqrt{a^2b^2c^2}}{abc}=\dfrac{8abc}{abc}=8$
Dấu $'='$ xảy ra chỉ khi $a=b=c$ tức $\triangle{ABC}$ đều

 

[phamhuy20011801]

Từ giả thiết ta có : $c(a-b)^2+a(b-c)^2+b(c-a)^2=0$, và $a,b,c$ dương. Từ đó suy ra $a=b=c$, khi đó $\triangle \ ABC$ đều.

 

[hoaithuong0602]

1+\frac{a}{b}\geq\sqrt[2]{\frac{a}
1+\frac{c}{b}\geq\sqrt[2]{\frac{c}{b}}
1+\frac{a}{c}\geq\sqrt[2]{\frac{a}{c}}
\Rightarrow(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})\geq\sqrt[2]{\frac{b}{a}}.\sqrt[2]{\frac{c}{b}}.\sqrt[2]{\frac{a}{c}}=8\sqrt[8]{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}}=8
Dẫu=xảy ra khi a=b=c
Tức tam giác ABC đều