[Đại số] phân tích đa thức thành nhân tử

[phuphu123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tình hình rất chi là tình hình
dạo này kiếm đc nhiều bài khá hay
tuy là phân tích đa thức thành nhân tử nhưng cũng phải suy nghĩ
nhất là phân tích đa thức có 2 ẩn @@
Vì vậy mình lập pic để cùng trao đổi thêm ^^! mong đc các bạn giúp đỡ

Lưu ý: không spam nhé!

Ta vào cuộc thôi
Khởi đầu từ đơn giản trc nhỉ? 1 ẩn thui

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ [TEX]x^4 - 2x^3 -3x^2 -4x -1[/TEX]
b/ [TEX]x^4 - 5x^2 - 2x + 3[/TEX]
c/ [TEX]x^4 + 7x^2 - 2x +15[/TEX]
d/ [TEX]x^4 + 2x^2 - 4x +8[/TEX]
e/ [TEX]x^4 - 19x^2 + 49x -24[/TEX]

 

[son9701]

1 phương pháp rất chi đc ưa chuộng vs những bài khó là phương pháp hệ số bất định,mình sẽ giải mẫu câu a để mọi ng xem nha:
Đặt:
[TEX]x^4-2x^3-3x^2-4x-1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^3(a+c)+x^2(b+d+ac)+x(ad+bc)+bd[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+c=-2;b+d+ac=-3;ad+bc=-4;bd=-1[/TEX]

Từ bd =-1 ,ta chọn b=1;d=-1 cho đẹp:
[TEX]\Rightarrow a+c=-2;ac=-3 ;c-a=-4 \Leftrightarrow a=-3;c=1[/TEX](t/m)
Từ đó,ta thay vào phép đặt:

[TEX]x^4-2x^3-3x^2-4x-1=(x^2-3x+1)(x^2+x-1)[/TEX]

Khi làm vào bài thì chỉ cần nhóm các hạng tử của 1 thừa số là đủ,k cần trình bày phần mò hệ số

 

[phuphu123]

à ờm...cách của son9701 hay nhỉ ^^!
Cách mình làm thì trình bày ra rất là phức tạp...
Nhưng khi làm nháp thì chắc không phức tạp lắm ^^!

Cho [TEX]f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e[/TEX]
Lúc này mình sẽ thêm vào biến m để cân = hệ số việc cần làm là tìm ra m rồi trình bày vào giấy thui
[TEX]f(x) = a(x^2+mx)^2 - 2amx^3 - am^2x^2 + bx^3 + cx^2 + dx + e \\ f(x) = a(x^2 + mx)^2 + (b - 2am)x^3 + (c-am)x^2 + dx + e[/TEX]
Tới đây rồi thì mọi việc dễ dàng hơn
Ta xét: nếu [TEX] P = (c-am)x^2 + dx + e[/TEX]
[TEX]\Delta = 0[/TEX] thì [TEX]P=-(\alpha + \beta)^2[/TEX]
và nếu [TEX](b - 2am)x^3 = 0[/TEX]

Khi đó [TEX]f(x) = a(x^2+mx)^2 -(\alpha + \beta)^2 [/TEX]
lúc này ta dùng hằng đẳng thức [TEX]a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)[/TEX]
Vậy khi đó ta tìm m sao cho [TEX]{b-2am = 0 \ \ (1)[/TEX]và[TEX]\Delta = d^2 - 4 (c-am)e=0 \ \ (2)[/TEX]
Nhưng thường thì...ta chỉ cần giải pt (1)
Vì nếu tìm ra mà thế vào (2) không đúng tức là đề sai
Phức tạp nhỉ? nhưng khi làm sẽ dễ thui
ví dụ ở bài trên
[TEX]f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x -1[/TEX]
Đây là phần nháp (tìm m)
[TEX]f(x) = (x^2 + mx)^2 +(-2-2m)x^3 +(-3-m)x^2 - 4x -1 (1)[/TEX]
Ta tìm m: [TEX] -2-2m = 0 \Leftrightarrow m = -1[/TEX]
Thế vào (1) ta được (khi làm bài chỉ ghi phần này thui ^^!)
[TEX]f(x) = x^4 -2x^3 + x^2 -4x^2 -4x -1 \\ = (x^2-x)^2 - (2x+1)^2 \\ = (x^2 - 3x -1)(x^2 +x +1)[/TEX]

nhưng mình so kết quả với son9701 thì không hợp...cảm phiền son9701 xem lại

 

[mitd]

1 phương pháp rất chi đc ưa chuộng vs những bài khó là phương pháp hệ số bất định,mình sẽ giải mẫu câu a để mọi ng xem nha:
Đặt:
[TEX]x^4-2x^3-3x^2-4x-1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^3(a+c)+x^2(b+d+ac)+x(ad+bc)+bd[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+c=-2;b+d+ac=-3;ad+bc=-4;bd=-1[/TEX]

Từ bd =-1 ,ta chọn b=1;d=-1 cho đẹp:
[TEX]\Rightarrow a+c=-2;ac=-3 ;c-a=-4 \Leftrightarrow a=-3;c=1[/TEX](t/m)
Từ đó,ta thay vào phép đặt:

[TEX]x^4-2x^3-3x^2-4x-1=(x^2-3x+1)(x^2+x-1)[/TEX]

Khi làm vào bài thì chỉ cần nhóm các hạng tử của 1 thừa số là đủ,k cần trình bày phần mò hệ số

VIết lộn rồi 0ng bạn

[TEX]a+c=-2[/TEX]
[TEX]a.c=-3[/TEX]
[TEX] -a + c = -4[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a=3 , c=-1[/TEX]

\Rightarrow [TEX](x^2+3x+1)(x^2-x-1) = (x^2-3x-1)(x^2+x+1)[/TEX]

@ Dung` hệ số bất định là đơn giản và rất hiệu quả


Lưu ý: Khi nào dùng dấu tương đương khi nào dùng dấu "="

 

[phuphu123]

VIết lộn rồi 0ng bạn

[TEX]a+c=-2[/TEX]
[TEX]a.c=-3[/TEX]
[TEX] -a + c = -4[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a=3 , c=-1[/TEX]

\Rightarrow [TEX](x^2+3x+1)(x^2-x-1) \Leftrightarrow (x^2-3x-1)(x^2+x+1)[/TEX]

@ Dung` hệ số bất định là đơn giản và rất hiệu quả

Ok thế đã có phương pháp cho đa thức đầy đủ
mình lo là lo đa thức khuyết
bạn nào có cách nào khác cách thêm biến m không? mình học hỏi

 

[maikhaiok]

b/ [TEX]x^4 - 5x^2 - 2x + 3[/TEX]
c/ [TEX]x^4 + 7x^2 - 2x +15[/TEX]
d/ [TEX]x^4 - 2x^2 - 4x +8[/TEX]
e/ [TEX]x^4 - 19x^2 + 49x -24[/TEX]

Ta có thể phân tích những câu trên bằng pp bình thường đó là đặt nhân tử chung )

b,[TEX]{x^4} - 5{x^2} - 2x + 3[/TEX]
[TEX]={x^4} - {x^3} - 3{x^2} + {x^3} - {x^2} - 3x - {x^2} + x + 3 = 0[/TEX]
[TEX]= {x^2}\left( {{x^2} - x - 3} \right) + x\left( {{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^2} - x - 3} \right) = 0[/TEX]
[TEX]= \left( {{x^2} - x - 3} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0[/TEX]

c,[TEX]x^4 + 7x^2 - 2x +15[/TEX]
[TEX] = {x^4} - {x^3} + 3{x^2} + {x^3} - {x^2} + 3x + 5{x^2} - 5x +15[/TEX]
[TEX] = {x^2}\left( {{x^2} - x + 3} \right) + x\left( {{x^2} - x + 3} \right) + 3\left( {{x^2} - x + 3} \right)[/TEX]
[TEX] = \left( {{x^2} - x + 3} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right)[/TEX]

d,Mong bạn xem lại đề

e, Riêng câu này thì mình đang suy nghĩ

 

[phuphu123]

d,Mong bạn xem lại đề

Sr bạn ^^
câu d mình đánh sai dấu ^^
đề đúng là [TEX]x^4 + 2x^2 - 4x +8[/TEX]

Ta có thể phân tích những câu trên bằng pp bình thường đó là đặt nhân tử chung )

Cách mình chỉ để tìm hệ số để cân = hệ số đa thức lại ~~> dễ dàng hơn trg việc phân tích thành phân tử ^^!
Chứ ghi vào giấy cũng thế thui mà
Vì dụ câu d:
[TEX]x^4 + 2x^2 - 4x +8\\=x^4 +6x^2 + 9 -4x^2-4x-1 \\ = (x^2+3)^2 - (2x+1)^2\\ = (x^2+2x+4)(x^2-2x+2)[/TEX]

 

[son9701]

Cho bài này các bác xem vào phương pháp phân tích nào này:

Phân tích nhân tử : $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 $

 

[vodichhocmai]

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ [TEX]x^4 - 2x^3 -3x^2 -4x -1[/TEX]
b/ [TEX]x^4 - 5x^2 - 2x + 3[/TEX]
c/ [TEX]x^4 + 7x^2 - 2x +15[/TEX]
d/ [TEX]x^4 + 2x^2 - 4x +8[/TEX]
e/ [TEX]x^4 - 19x^2 + 49x -24[/TEX]

[TEX]x^4 - 2x^3 -3x^2 -4x -1=(x^2-3x-1)(x^2+x+1)[/TEX]

[TEX]x^4 - 5x^2 - 2x + 3=(x^2-3x-3)(x^2+x-1)[/TEX]

[TEX]x^4 + 7x^2 - 2x +15=(x^2-x+3)(x^2+x+5)[/TEX]

[TEX]x^4 + 2x^2 - 4x +8=[(x-1)^2+1][(x+1)^2+3][/TEX]

[TEX]x^4 - 19x^2 + 49x -24=[/TEX] Câu này làm được mới sợ. Kêu cái thằng ra đề làm đi b-(

 

[vodichhocmai]

Cho bài này các bác xem vào phương pháp phân tích nào này:

Phân tích nhân tử : $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 $

[TEX]\huge (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5=\frac{5(x-y)(y-z)(z-x)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\]}{2}[/TEX]

 

[maikhaiok]

Cho bài này các bác xem vào phương pháp phân tích nào này:

Phân tích nhân tử : $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 $

đặt:
x-y=a;y-z=b;z-x=c \Rightarrow a+b+c=0

[TEX]\Rightarrow a^5+b^5+c^5=a^5+b^5-(a+b)^5[/TEX]

$=-5ab(ab^4+2a^2b^3+2a^3b^2+a^4b)=-5abc(a^2+ab+b^2)$

$=-5(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx- x^2-y^2-z^2)$

 

[son9701]

Em vui tính post lên 1 bài ghê gớm nè:

Chứng minh rằng : $(x-y)^{2011}+(y-z)^{2011}+(z-x)^{2011}$ \geq 0

 

[maikhaiok]

Em vui tính post lên 1 bài ghê gớm nè:

Chứng minh rằng : $(x-y)^{2011}+(y-z)^{2011}+(z-x)^{2011}$ \geq 0

Không có điều kiện của $x,y$ à "ông anh" :-SS:-SS
Bài này thì ai làm được đây @-)