Toán 9 Đại số nâng cao

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng: [tex]x+y+z+6\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})[/tex]

 

[7 1 2 5]

Ta có: [tex]x+y+z+2=xyz\Rightarrow (xy+x+y+1)+(yz+y+z+1)+(zx+x+z+1)=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\Rightarrow (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=(x+1)(y+1)(z+1)\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1[/tex]
Đặt [tex](\frac{1}{x+1},\frac{1}{y+1},\frac{1}{z+1})=(a,b,c)\Rightarrow a+b+c=1[/tex]
Vì [tex]a=\frac{1}{x+1}\Rightarrow x+1=\frac{1}{a}\Rightarrow x=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}[/tex]
Tương tự ta có [tex](x,y,z)=(\frac{b+c}{a},\frac{c+a}{b},\frac{a+b}{c})[/tex]
Ta có: [tex]2\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}}=2\sqrt{\frac{b+c}{b}.\frac{c+a}{a}}\leq \frac{b+c}{b}+\frac{c+a}{a}=2+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}[/tex]
Tương tự ta có [tex]VP\leq 6+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=6+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=6+x+y+z(đpcm)[/tex]

 

[nguyenduykhanhxt]

Ta có: [tex]x+y+z+2=xyz\Rightarrow (xy+x+y+1)+(yz+y+z+1)+(zx+x+z+1)=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\Rightarrow (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=(x+1)(y+1)(z+1)\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1[/tex]
Đặt [tex](\frac{1}{x+1},\frac{1}{y+1},\frac{1}{z+1})=(a,b,c)\Rightarrow a+b+c=1[/tex]
Vì [tex]a=\frac{1}{x+1}\Rightarrow x+1=\frac{1}{a}\Rightarrow x=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}[/tex]
Tương tự ta có [tex](x,y,z)=(\frac{b+c}{a},\frac{c+a}{b},\frac{a+b}{c})[/tex]
Ta có: [tex]2\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}}=2\sqrt{\frac{b+c}{b}.\frac{c+a}{a}}\leq \frac{b+c}{b}+\frac{c+a}{a}=2+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}[/tex]
Tương tự ta có [tex]VP\leq 6+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=6+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=6+x+y+z(đpcm)[/tex]

vì sao a + b + c = 1 bạn?

 

[mbappe2k5]

vì sao a + b + c = 1 bạn?
View attachment 149318

Bạn đọc kỹ nhé, bạn Mộc Nhãn đặt ẩn phụ rồi nên có cái đó.

 

[7 1 2 5]

vì sao a + b + c = 1 bạn?
View attachment 149318

Ở trên có suy ra [TEX]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1[/TEX] mà bạn.