Toán 9 Đại số nâng cao

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số nguyên dương a,b,c thỏa mãn [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}[/tex] chia hết cho 14. Chứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14

 

[7 1 2 5]

Xét số dư ta thấy [tex]x^3\equiv \pm 1(mod7)[/tex] với x không chia hết cho 7.
Giả sử trong 3 số a,b,c không có 1 số nào chia hết cho 7. Khi đó ta có [tex]a^3+b^3+c^3\equiv (-1)^x+(-1)^y+(-1)^z[/tex]
Vì tổng số dư 3 số này đều lẻ nên [TEX](-1)^x+(-1)^y+(-1)^z[/TEX] không thể đồng dư với 0 được. Mặt khác [tex]-3\leq (-1)^x+(-1)^y+(-1)^z\leq 3[/tex] nên [TEX]a^3+b^3+c^3[/TEX] không chia hết cho 7(vô lí). Vậy ta có đpcm.