đại số nâng cao

E

embecuao

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số dương x,y,z. Chứng minh: [TEX]\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}} + \sqrt{\frac{z}{x+y}}[/TEX] > 2


2. Cho các số x,y,z đều lớn hơn [TEX]\frac{25}{4}[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A= [TEX]\frac{x}{2\sqrt{y} - 5} + \frac{y}{2\sqrt{z} - 5} + \frac{z}{2\sqrt{x} - 5}[/TEX]


3. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= [TEX]\frac{1}{a^3(a+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)}[/TEX]


4. Cho x+y = a+b và [TEX]x^4 + y^4 = a^4 + b^4[/TEX]
Chứng minh: [TEX]x^n + y^n = a^n + b^n[/TEX] (với n nguyên dương)


5. Cho 2 số dương a,b thỏa mãn [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Q= [TEX]\frac{1}{a^4 + b^2 + 2ab^2} + \frac{1}{b^4 + a^2 + 2ba^2}[/TEX]


6. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Kí hiệu a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S= [TEX]\frac{a}{b+c-a} + \frac{4b}{c+a-b} + \frac{9c}{a+b-c}[/TEX]


7. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: [TEX]\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]5x^2 + y - 4xy + y^2 \geq 3[/TEX]


8. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6abc
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
P

phuong_july

Bài 1. Bạn chép thiếu đề rồi. Fix lại đi nhé! :)
Bài 3.Mình nghĩ đề bạn có vấn đề rồi.
Mình nghĩ đề thế này:
$(\frac{a^3(b+c)}+\frac{b^3(a+c)}+\frac{c^3(a+b)})$
Áp dụng BDT Bunhia ta có:
$(\frac{a^3(b+c)}+\frac{b^3(a+c)}+\frac{c^3(a+b)})(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b))$ \geq $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=(ab+bc+ca)^2$
\Rightarrow $(\frac{a^3(b+c)}+\frac{b^3(a+c)}+\frac{c^3(a+b)})$ \geq\geq $\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$ \geq $\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
 
E

eye_smile

1,Ta có:
$VT=\dfrac{x}{\sqrt{x(y+z)}}+\dfrac{y}{\sqrt{y(x+z)}}+\dfrac{z}{\sqrt{z(y+x)}} \ge \dfrac{2x}{x+y+z}+\dfrac{2y}{x+y+z}+\dfrac{2z}{x+y+z}=2$
Dấu "=" k xảy ra \Rightarrow đpcm
 
E

eye_smile

2,AD AM-GM:
$\dfrac{x}{2\sqrt{y}-5}+2\sqrt{y}-5 \ge 2\sqrt{x}$
$\dfrac{y}{2\sqrt{z}-5}+2\sqrt{z}-5 \ge 2\sqrt{y}$
$\dfrac{z}{2\sqrt{x}-5}+2\sqrt{x}-5 \ge 2\sqrt{z}$
Cộng theo vế, đc: $VT+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})-15 \ge 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$
\Leftrightarrow $VT \ge 15$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow .....
 
E

eye_smile

5,Có: ${a^4}+{b^2} \ge 2{a^2}b$
\Leftrightarrow ${a^4}+{b^2}+2a{b^2} \ge 2ab(a+b)$
\Rightarrow $\dfrac{1}{{a^4}+{b^2}+2a{b^2}} \le \dfrac{1}{2ab(a+b)}$
TT, có: $\dfrac{1}{{b^4}+{a^2}+2b{a^2}} \le \dfrac{1}{2ab(a+b)}$
Cộng theo vế, đc: $VT \le \dfrac{1}{ab(a+b)}=\dfrac{1}{2{(ab)^2}} \le \dfrac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow .......
 
E

eye_smile

6,Đặt $a+b-c=x$
$b+c-a=y$
$c+a-b=z$
\Rightarrow $S=\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{2(x+y)}{z}+\dfrac{9(y+z)}{2x}=\dfrac{x}{2y}+\dfrac{9y}{2x}+\dfrac{z}{2y}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{2x}{z}+\dfrac{9z}{2x} \ge 11$

Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow .......



 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom