[Đại số] Một bài toán chứng minh sự tồn tại.

N

nguathan95

N

ngojsaoleloj8814974

nguathan95 said:
Cho 4 số dương a,b,c,d. Đặt:
[TEX]x=2a+b-2\sqrt{cd}[/TEX] , [TEX]y=2b+c-2\sqrt{da}[/TEX]
[TEX]z=2c+d-2\sqrt{ab}[/TEX] , [TEX]t=2d+a-2\sqrt{bc}[/TEX]
Chứng minh rằng trong bốn số x,y,z,t có ít nhất 2 số dương.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]x+z=2a+b-2\sqrt{cd}+2c+d-2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]=a+c+(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b})^2+(\sqrt[]{c}-\sqrt[]{d})^2 >0[/TEX]
\Rightarrow trong 2 số x;z có 1 số dương
[TEX]y+t=2b+c-2\sqrt{da}+2d+a-2\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]=b+d+(\sqrt[]{b}-\sqrt[]{c})^2+(\sqrt[]{d}-\sqrt[]{a})^2 >0[/TEX]
\Rightarrow trong 2 số z;t có 1 số dương

\Rightarrow trong 4 số x;y;z;t có 2 số dương
 
N

nguathan95

Một bài đơn giản nè.
Tìm GTNN của biểu thức T= (x+y)(x+z) trong đó x,y,z là 3 số dương thay đổi luôn thỏa mãn đk (x+y+z)xyz=1.
Giải nhanh thanks tiếp cái nữa :D:)>-
 
N

nhockthongay_girlkute

T=(x+y)(x+z)
=[TEX]x^2+xy+xz+yz[/TEX]
=[TEX]x(x+y+z)+yz[/TEX]
ta có [TEX](x+y+z)xyz=1[/TEX]\Rightarrow[TEX]x(x+y+z)=\frac{1}{yz}[/TEX]
\Rightarrow T=[TEX]\frac{1}{yz}+yz\ge\[/TEX]2(theo bđt cauchy)
vậy minT=2
dấu "=" xảy ra\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{\frac{1}{yz}=yz}\\{(x+y)(x+z)=2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{yz=1}\\{x(x+y+z)=1}[/TEX]
\Leftrightarrow.................................
 
N

nguathan95

nhockthongay_girlkute said:
T=(x+y)(x+z)
=[TEX]x^2+xy+xz+yz[/TEX]
=[TEX]x(x+y+z)+yz[/TEX]
ta có [TEX](x+y+z)xyz=1[/TEX]\Rightarrow[TEX]x(x+y+z)=\frac{1}{yz}[/TEX]
\Rightarrow T=[TEX]\frac{1}{yz}+yz\ge\[/TEX]2(theo bđt cauchy)
vậy minT=2
dấu "=" xảy ra\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{\frac{1}{yz}=yz}\\{(x+y)(x+z)=2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{yz=1}\\{x(x+y+z)=1}[/TEX]
\Leftrightarrow.................................
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Đoạn đầu bạn giải tốt rồi, nhưng phần dấu đẳng thức xảy ra thì giải tiếp hệ đó không ra đâu. Cái này bạn chỉ cần chỉ ra 1 trường hợp là được. Chẳng hạn y=1, z=1 \Rightarrow [TEX]x=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}[/TEX].
Dù sao cũng là bạn giải đầu tiên, thanks bạn 1 phát :):):)
2 bài tiếp theo
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x,y thỏa mãn pt:
[TEX](y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2[/TEX]
2. Cho các số thực x,y thỏa mãn đẳng thức
[TEX](x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1[/TEX]
Tính tổng x+y.
 
Last edited by a moderator:
N

nhockthongay_girlkute

bài 1 [TEX](y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y^4+4y^3+6y^2+4y+1+y^4=x^2+2x+1+x^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2(y^4+2y^3+3y^2+2y)=2x(x+1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y^4+2y^3+3y^2+2y=x(x+1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y^2(y+1)^2+2y(y+1)=x(x+1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](y^2+y+1)^2=x^2+x+1[/TEX] (1)
*th1 nếu x>0 thì [TEX]x^2<x^2+x+1<(x+1)^2[/TEX]
\Rightarrow ft(1) ko có nghiệm nguyên x>0
* th2 nếu x=0hoặc x=-1\Rightarrow[TEX]y^2+y+1=1[/TEX]hoặc [TEX]y^2+y+1=-1[/TEX]
\Rightarrow y=0 hoặc y=-1
vì nghiẹm của ft là nghiệm nguyên ko âm \Rightarrow ft có nghiêm j (x;y)=(0;0)
*th3 nếu x<-1 thì [TEX](x+1)^2<x^2+x+1<x^2[/TEX]
\Rightarrow ft (1) ko có nghiệm nguyên x<-1
vậy x=0;y=0 là nghiệm nguyên ko âm duy nhát của ft
 
Last edited by a moderator:
N

ngojsaoleloj8814974

nguathan95 said:
2. Cho các số thực x,y thỏa mãn đẳng thức
[TEX](x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1(1)[/TEX]
Tính tổng x+y.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Nhân 2 vế của (1) cho [TEX]x-\sqrt[]{x^2+1}[/TEX] ta được:
[TEX] - y -\sqrt[]{y^2+1} =x - \sqrt[]{x^2+1} (2)[/TEX]
Nhân 2 vế (1) cho [TEX]y - \sqrt[]{y^2+1}[/TEX] ta được:
[TEX] - x - \sqrt[]{x^2+1}=y - \sqrt[]{y^2+1}(3)[/TEX]
Cộng (2)và (3) lại ta được:
x+y=0
:x:x=((=((
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom