Câu 1: Cho các số [TEX]a=111...11[/TEX] (gồm 2012 chữ số 1), [TEX]b=100...05[/TEX] (gồm 2011 chữ số 0) và [TEX]T=\sqrt{ab+1}[/TEX]. CMR: T là số nguyên. Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7
Câu 2: Cho hai đa thức:
[TEX]P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1[/TEX] và [TEX]Q(x)=x^4+cx^3+bx^2+ax+1[/TEX]
với [TEX]a\neq c[/TEX]. Biết rằng các đa thức trên có hai nghiệm chung. Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai đa thức đó.
Đây là câu 3 trong đề thi vào chuyên toán Bắc Giang năm ngoái mà!
Năm ngoái anh thi đó!
p\s: Năm ngoái làm hết!
Câu 1:
Ta viết các số a, b đã nêu dưới dạng:
[TEX]a = \frac{10^{2012}-1}{9}, b = 10^{2012}-5[/TEX].
Khi đó [TEX]ab + 1= \frac{(10^{2012}-1)(10^{2012}+5)}{9}+1 = \frac{10^{2024}+4.10^{2012}+4}{9} = \left ( \frac{10^{2012}+2}{3} \right )^2[/TEX]
Do 10 chia 3 dư 1 nên [TEX]\frac{10^{2012}+2}{3} \in \mathbb{Z}[/TEX] và [TEX]\sqrt{ab+1}[/TEX] là số nguyên.
Ta cần tìm số dư của [TEX]\frac{10^{2012}+2}{3}[/TEX] cho 7.
Ta biết rằng [TEX]10^3 \equiv -1 \mod{7}[/TEX] nên
[TEX]10^{2012} = 10^{2010}.100 \equiv 100 \equiv 2 \mod{7}[/TEX].
Suy ra [TEX]10^{2012}[/TEX] chia 7 dư 2 và chia 3 dư 1, tức là nó có đồng thời hai dạng sau [TEX]7a+2, 3b+1[/TEX], tức là nó có dạng [TEX]21c+16[/TEX]. Thay vào biểu thức đang xét:
[TEX]\frac{21c+16+2}{3} = 7c+6[/TEX].
Vậy số dư cần tìm là 6.
Câu 2:
Vì P(x) = Q(x)
[tex]x^4+ax^3+bx^2+cx+1=x^4+cx^3+bx^2+ax+1[/tex]
[tex]\Rightarrow a^3x+cx=cx^3+ax[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-c)x(x^2-1)=0[/tex]
Vì [tex]a\neq c [/tex]và x = 0 không là nghiệm
nên
[tex]x = \pm 1[/tex]
Thay x = 1 vào P(x) thì thu được
[tex]a + b + c = -2[/tex]
Thay x = -1 vào Q(x) thì thu được
[tex]-a + b - c = -2[/tex]
Vậy[tex] a + c = -a - c[/tex]
[tex]\Rightarrow [/tex] a = -c và b = -2
Thay a = -c vào P(x) thì có :
[tex]x^4+ax^3-2x^2-ax+1=0[/tex]
Do x = 0 không là nghiệm nên chia[tex] x^2 [/tex] cho 2 vế
[tex]x^2+ax-2-\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0[/tex]
Tới đây chắc làm tiếp được
Em xm đề ở đây nè:
Đề thi tuyển sinh vào 10 toán chuyên Bắc Giang 2011-2012, 4/7/2011
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn