$\dfrac{xy}{ay+bx}=\dfrac{yz}{bz+cy}=\dfrac{zx}{cx+az}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$ (*)
Xét $x=0$ hoặc $y=0$ hoặc $z=0$ do đó $\dfrac{xy}{ay+bx}$ hoặc $\dfrac{zx}{cx+az}$ không xác định, loại $\rightarrow x,y,z$ khác 0.$
Từ (*) suy ra $\dfrac{ay+bx}{xy}=\dfrac{bz+cy}{yz}=\dfrac{cx+az}{zx}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}$ $(1)$
Đặt $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=k$
Cộng các vế ta có: $2(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z})=\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{x^2+y^2+z^2}\\
\rightarrow \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{3}{2}k$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=\dfrac{3}{2}k \\ \dfrac{b}{y}+\dfrac{a}{x}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=k \\ \dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=k \\ \dfrac{c}{z}+\dfrac{a}{x}=k \end{matrix}\right.$
$\rightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z} \rightarrow \dfrac{a^2}{x^2}=\dfrac{b^2}{y^2}=\dfrac{c^2}{z^2}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{k^2}{4}$ có $k \neq 0$
$\rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{k^2}{4}=k \\ k \neq 0 \end{matrix}\right.$
$\rightarrow \left\{\begin{matrix} k(k-4)=0 \\ k \neq 0 \end{matrix}\right. \rightarrow k=4$
$\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{a}{2} \\ y=\dfrac{b}{2} \\ z=\dfrac{c}{2} \end{matrix}\right.$
Thử lại thỏa mãn, vậy...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn