[Đại số] Giúp tí mấy anh

[lykkenaturligsen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Giả sử x và y là 2 số thoã $x > y$ và $xy = 1$.
Tìm GTNN của: P = $\dfrac{a^2 + b^2}{a - b}$.
Bài 2 : Cho a, b, c là các số thực thoã $a + b + c = 0$ và $abc \not= 0$.
a) C/m: $a^2 + b^2 - c^2 = -2ab$.
b) Tính giá trị của biểu thức:

$A = \dfrac{1}{a^2 + b^2 - c^2} + \dfrac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \dfrac{1}{c^2 + a^2 - b^2}$.​

 

[1um1nhemtho1]

Bài 1: Giả sử x và y là 2 số thoã $x > y$ và $xy = 1$.
Tìm GTNN của: P = $\dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$.

$P =$ $\dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$= $\dfrac{x^2 -2xy+ y^2+2xy}{x - y}$
$=\dfrac{(x-y)^2+2}{x - y}$
$= (x-y) +\frac{2}{x-y}$ \geq $2\sqrt[]{(x-y).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt[]{2}$ (BĐT Cauchy)
\Rightarrow ${P_{min}}=2\sqrt[]{2}$. xảy ra khi $x-y=\sqrt[]{2}$ và $xy=1$ \Leftrightarrow....

 

[1um1nhemtho1]

Bài 2 : Cho a, b, c là các số thực thoã $a + b + c = 0$ và $abc \not= 0$.
a) C/m: $a^2 + b^2 - c^2 = -2ab$.
b) Tính giá trị của biểu thức:

$A = \dfrac{1}{a^2 + b^2 - c^2} + \dfrac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \dfrac{1}{c^2 + a^2 - b^2}$.​

$a)$ ta có $a + b + c = 0$
\Rightarrow $a+b=-c $
\Rightarrow $(a+b)^2=c^2$
\Leftrightarrow $a^2+b^2-c^2=-2ab$
$b)$ áp dụng câu $a)$ ta có: $ a^2+b^2-c^2=-2ab$ $; b^2+c^2-a^2=-2bc$$; c^2+a^2-b^2 = -2ac$.
thay vào $A$ ta có:
$A = \dfrac{1}{a^2 + b^2 - c^2} + \dfrac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \dfrac{1}{c^2 + a^2 - b^2}$
$= \frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}=\frac{-1}{2}(\frac{a+b+c}{abc})=0$
Vậy $ A=0$

 

[cheyses98]

[TEX]cho 3 số thỏa mãn 0<x,y,z\leq1 và x+y+z=2[/TEX]
[TEX]Tìm minA=\frac{(x-1)^2}{z}+\frac{(y-1)^2}{x}+\frac{(z-1)^2}{y}[/TEX]
Mọi người giúp em với

 

[1um1nhemtho1]

cho 3 số thỏa mãn [TEX]0<x,y,z\leq1[/TEX] và [TEX]x+y+z=2[/TEX]
Tìm min [TEX]A=\frac{(x-1)^2}{z}+\frac{(y-1)^2}{x}+\frac{(z-1)^2}{y}[/TEX]
Mọi người giúp em với

Bài này mình nghĩ không cần điều kiện $x,y,z$ \leq $1$....
Đầu tiên chứng minh BĐT:
$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}$ \geq $\frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
(cái này khai triển ra rồi áp dụng BĐT Cauchy là được )
Áp dụng BĐT này ta có:

$A=\frac{(x-1)^2}{z}+\frac{(y-1)^2}{x}+\frac{(z-1)^2}{y}$ \geq $\frac{[(x-1)+(y-1)+(z-1)]^2}{z+x+y}= \frac{(x+y+z-3)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}$
Vậy $ A_{min}=\frac{1}{2}$. Xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$