Cho [tex]a,b,c[/tex] là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
[tex]abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/tex]
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} a+b-c=2x\\ b+c-a=2y \\ c+a-b=2z \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b-c+c+a-b=2x+2z\\ a+b-c+b+c-a=2x+2y \\ b+c-a+c+a-b=2y+2z \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=z+x\\b=x+y \\c=y+z \end{matrix}\right.[/tex]
Khi đó, BĐT cần chứng minh
$abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq 2x.2y.2z=8xyz$ (*)
Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác nên [tex]\left\{\begin{matrix} a+b>c\\b+c>a \\c+a>b \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b-c>0\\b+c-a>0 \\c+a-b>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x>0\\ 2y>0 \\ 2z>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\y>0 \\z>0 \end{matrix}\right.[/tex]
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]x+y\geq 2\sqrt{xy};y+z\geq 2\sqrt{yz};z+x\geq 2\sqrt{zx}[/tex]
Nhân vế với vế của 3 BĐT cùng chiều trên ta được BĐT (*) => đpcm
cho em hỏi tại sao
[tex]a>\left | b-c \right |\Rightarrow a^2 >a^2 -(b-c)^2>0[/tex]
[tex]b>\left | a-c \right |\Rightarrow b^2>b^2-(c-a)^2>0[/tex]
[tex]c>\left | a-b \right |\Rightarrow c^2>c^2 -(a-b)^2>0[/tex]
Mình sẽ giải thích BĐT đầu tiên, 2 BĐT còn lại tương tự.
[tex]a> \left | b-c \right |\Rightarrow a^{2}>(b-c)^{2}\Rightarrow a^{2}-(b-c)^{2}>0[/tex]
Mặt khác [tex](b-c)^{2}> 0\Rightarrow a^{2}> a^{2}-(b-c)^{2}[/tex] ( không xét dấu "=" vì ở đây a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và chúng ta đang xét trong mọi trường hợp; dấu "=" chỉ xảy khi tam giác đó là tam giác cân hoặc đều- trường hợp đặc biệt)
Suy ra: [tex]a>\left | b-c \right |\Rightarrow a^2 >a^2 -(b-c)^2>0[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
