[Đại số] C/m tổng một dãy số < $\dfrac{1}{2}$

[lykkenaturligsen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho hai số dương x và y thoã mãn $x +y = 1$. Tìm GTNN của:

$A = \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{xy}$.​

Bài 2: Với số tự nhiên n thoã n \geq 3. Đặt:

$S_n = \dfrac{1}{3(1 + \sqrt{2})} + \dfrac{1}{5(\sqrt{2} + \sqrt{3})} + ... + \dfrac{1}{(2n + 1)(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}$​

.
C/m: $S_n < \dfrac{1}{2}$

 

[1um1nhemtho1]

có : [TEX]\frac{1}{(2n+1)(\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n+1})} = \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{(2n+1)(\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n+1})(\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n})} = \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{(2n+1)(n+1-n)}= \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{2n+1}[/TEX].
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số không âm n và n+1 ta có:
[TEX]n+(n+1) \geq 2\sqrt[]{n(n+1)}[/TEX] => [TEX]2n+1 \geq 2\sqrt[]{n(n+1)}[/TEX]
=> [TEX]\frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{2n+1} \leq \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{2\sqrt[]{n(n+1)}}= \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}})[/TEX]
=> [TEX]{S_n} \leq \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}}) < \frac{1}{2}[/TEX]

Bài 1: Cho hai số dương x và y thoã mãn $x +y = 1$. Tìm GTNN của:

$A = \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{xy}$.​

có $(a-b)^2$ \geq $0$ \Leftrightarrow $(a+b)^2$ \geq $4ab$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ \geq $\frac{4}{a+b}$ ( dấu $"="$ xảy ra \Leftrightarrow $a=b$)
áp dụng BĐT trên ta có: $(x+y)^2$ \geq $4xy$ \Leftrightarrow $xy$ \leq $\frac{1}{4}$.
\Rightarrow $A= \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{xy} = (\dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{2xy}) +\dfrac{1}{2xy}$ \geq $\frac{4}{x^2+y^2+2xy} + 2 = 4+2 = 6$
\Rightarrow $A_{min} = 6$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$