Toán Đại số 9

[Chichioppa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: $$2^xx^2=9y^2+6y+16$$
2. Cho n$$\epsilon Z^+$$ thỏa mãn $$2+2\sqrt{12n^2+1}\epsilon Z$$
Chứng minh rằng: $$2+2\sqrt{12n^2+1}$$ là số chính phương

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu 1:
Dễ thấy:
$2^x\equiv 1,2(mod 3)
\\x^2 \equiv 0,1 (mod 3)
\\\Rightarrow 2^x.x^2 \equiv 0,1,2(mod 3)$
$VP \equiv 1(mod 3)$.
Do đó $x$ phải chẵn và $x$ không chia hết cho $3$.
Đặt $x=2k$.
$(2^{k+1}.k)^2-(3y+1)^2=15
\\\Rightarrow (2^{k+1}.k-3y-1)(2^{k+1}.k+3y+1)=15$
Tới đây giải các trường hợp có thể xảy ra tìm được $k,y$ từ đó suy ra tìm $x$.
Câu 2:
Để cái số đó là số nguyên thì:
$12n^2+1$ phải là số chính phương lẻ.
Đặt $\\\Rightarrow \sqrt{12n^2+1}=2k+1
\\\Rightarrow 12n^2=4k(k+1)
\\\Rightarrow 3n^2=k(k+1)$
Do đó $k \vdots 3$ hoặc $k+1 \vdots 3$.
Xét $k=3q \Rightarrow n^2=q(3q+1)$
Mà do $(q,3q+1)=1$ nên $3q+1=b^2,q=a^2$
Do đó $3q^2+1=b^2$.
Nên $2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=4b^2$.
Tương tự với trường hợp $k+1 \vdots 3$