[ Đại số 9] Toán nâng cao

[katoriitto]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho n là dố tự nhiên, n >0. CMR :
a) [TEX]2^4^n[/TEX] + 5 [TEX]\vdots[/TEX] 21
b) [TEX]2^2^{2n}[/TEX] + 10 [TEX]\vdots[/TEX] 13

Bài 2 : Giả sử có số thực x sao cho [TEX] x + \frac{1}{x} \in Z [/TEX]
CMR : [TEX] x^n + \frac{1}{x^n} \in Z [/TEX]

Bài 3 : Cho [TEX] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 [/TEX] ( x , y , z [TEX] \not=\[/TEX] 0). Tính [TEX] \frac{yz}{x^2} + \frac{xz}{y^2} + \frac{xy}{z^2}[/TEX]

Bài 4 : Cho x, y thỏa : [TEX] x^2 + y^2 - 2x - 4y \leq 0[/TEX].
CMR: x + 2y \leq 10

 

[pandahieu]

$\boxed{1}$

a) Ta có $2^{4^n}+5=2^{4k}+5=16^{k}+5 \vdots (16+5=21)$

b) $2^{2^{2^{2n}}}+10=2^{4k}+10=16^{k}+10 \vdots (16+10=26)$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2: n là số nguyên nhé

Đặt $x+\dfrac{1}{x}=k$

Dễ thấy điều phải chứng minh đúng với $n=2 \ \ ( \ \ x^2+\dfrac{1}
{x^2}=k^2-2 \ \ )$

Giả sử điều phải chứng minh đúng với n=k(cũng đúng với n=k-1 ). Ta
chứng minh điều phải chứng minh đúng với n=k+1. Thật vậy:

$x^{k+1}+\dfrac{1}{x^{k+1}}=(x^k+\dfrac{1}{x^k})(x+\dfrac{1}
{x})-\dfrac{1}{x^{k-1}}-x^{k-1}$

Ta có vế phải nguyên nên vế trái nguyên

Vậy $n=2$ đúng $\rightarrow n=3$ đúng, ...

Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n là số nguyên

Bài 3:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$

$\leftrightarrow \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=
\dfrac{3}{xyz}$

$\leftrightarrow \dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{yz}{x^2}=
\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}=xyz(\dfrac{1}
{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3})=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3$

Bài 4:

$x^2+y^2-2x-4y \leq 0$

$\leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2 \leq 5$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(x+2y-5)^2=[(x-1)+2(y-2)]^2 \leq [(x-1)^2+(y-2)^2]5 \leq 25$

$\leftrightarrow x+2y-5 \leq 5 \leftrightarrow x+2y \leq 10$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=2 \ \ \ \ \ \ y=4$