[Đại số 9] Toán 9 cực khó

[vu_hoang_anh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.
a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có [TEX]( 1 + \frac{1}{n} )^n < 3[/TEX].
b) Chứng minh rằng trong các số có dạng [TEX]\sqrt[n]{n}[/TEX] (n là số tự nhiên, [TEX] n \geq 2 [/TEX] ), số [TEX] \sqrt[3]{3} [/TEX] có giá trị lớn nhất.

2. Cho hai dãy số sắp thứ tự: [TEX] a \geq b \geq c [/TEX] và [TEX] x \leq y \leq z [/TEX].
Chứng minh bất đẳng thức [TEX] (a+b+c)(x+y+z) \geq 3(ax+by+cz) [/TEX] (Bất đẳng thức Trê-bư-sép).

3. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số [TEX] \sqrt{0,99...9} [/TEX].

4. Chứng minh rằng:
a) Số [TEX] (8+3\sqrt{7})^7 [/TEX] có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy;
b) Số [TEX] (7+3\sqrt{3})^10 [/TEX] có 10 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.

"Cố lên! Chúc các bạn học tốt môn Toán!!!"

_______________________________________

"TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN CỦA KẺ LƯỜI BIẾNG"

 

[tranvanhung7997]

Rõ ràng bài này không thể quy nạp trực tiếp
Ta thấy:
BDT đúng với n = 1 và n = 2
Ta xét $n \ge 3$ và chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k thoả mãn điều kiện:
$$1 \le k \le n$$
thì $$(1 + \dfrac{1}{n})^k < 1 + \dfrac{k}{n} + \dfrac{k^2}{n^2}$$
Ta sẽ chứng minh BDT trên bằng quy nạp:
BDT trên đứng với $k = 1$
Giả sử BDT đúng với k ( $1 \le k \le n$ ); ta sẽ chứng minh nó đúng với (k+1).Quả thật:
$(1 + \dfrac{1}{n})^{k+1} = (1 + \dfrac{1}{n})(1 + \dfrac{1}{n})^k$
< $(1 + \dfrac{1}{n})(1 + \dfrac{k}{n} + \dfrac{k^2}{n^2})$
$\le 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{k}{n} + \dfrac{k}{n^2} + \dfrac{k^2}{n^2} + \dfrac{k^2}{n^3}$
$\le 1 + \dfrac{k + 1}{n} + \dfrac{k(n + nk + k)}{n^3} < 1 + \dfrac{k + 1}{n} + \dfrac{(k + 1)^2}{n^2}$
Đúng theo quy nạp.Vậy BDT trên được chứng minh
Trong BDT trên, cho k = n thì được:
$(1 + \dfrac{1}{n})^n < 1 + \dfrac{n}{n} + \dfrac{n^2}{n^2} = 3$
Vậy BDT ban đầu được chứng minh

 

[khongphaibang]

Câu 3 :
$\sqrt {0,999999...} = \sqrt {0,\left( 9 \right)} = \sqrt {0,\left( 1 \right).9} = \sqrt {\frac{1}{9}.1} = \sqrt 1 = 1$

Vậy chắc là 20 chữ số thập phân đầu tiên là 0

Vì 1= 1,00000000000...

 

[letsmile519]

xét hiệu:
[TEX] (a+b+c)(x+y+z)-3(ax+by+cz) [/TEX]
[TEX]= a(x+y+z)-3ax+b(x+y+z)-3by+c(x+y+z)-3cz[/TEX]
[TEX]= a(y+z-2x)+b(x+z-2y)+c(x+y-2z)[/TEX]
[TEX]=a[(y-x)-(x-z)]+b[(z-y)-(y-x)]+c[(x-z)-(z-y)][/TEX]
[TEX]=(y-x)(a-b)+(x-z)(c-a)+(z-y)(b-c)\geq0[/TEX]

 

[baihocquygia]

Các bài này ở trong quyển toán phát triển và nâng cao lớp 9 của vũ hữu bình các bạn xem từ bài 121 đến 125