[Đại số 9] TÌM CỰC TRỊ

Status
Không mở trả lời sau này.
V

vu_hoang_anh

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sau đêy mình sẽ phân tích đầy đủ về Toán tìm cực trị, hy vọng nó sẽ giúp các bạn nâng cao thêm kiến thức môn Toán.


TÌM CỰC TRỊ

Phần I: ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, kí hiệu M= maxf(x), nếu 2 điều kiện sau được thoã mãn:
- Với mọi x thuộc D thì f(x) \leq M, với M là hằng số.
- Tồn tại x_0 thuộc D sao cho f(x) = m.
Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m= minf(x) nếu 2 điều kiện sau được thoã mãn:
- Với mọi x thuộc D thì f(x) \geq m, với m là hằng sô.
- Tồn tại x_0 thuộc D sao cho f(x) = m.
Ta cũng định nghĩ giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y, ...), giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y, ...) bằng cách tương tự.

Phần II: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ

1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[TEX]A= \frac{1}{x^2-6x+17}[/TEX]

Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có: [TEX]x^2-6x+17 = (x-3)^2+8 \geq 8[/TEX]
[TEX]min(x^2-6x+17) = 8 \Leftrightarrow x = 3[/TEX]
Vậy [TEX] max A=\frac{1}{8} \Leftrightarrow x=3 [/TEX]

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định "A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất" mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các sô dương.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét [TEX]x^2-6x+17=(x-3)^2+8\geq8[/TEX] nên tử và mẫu của A là các số dương; hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớn nhất [TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{A}[/TEX] nhỏ nhất [TEX]\Leftrightarrow x^2-6x+17[/TEX] nhỏ nhất.

2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]A=x+\sqrt{x}[/TEX]
Lời giải sai.
[TEX]A = x+\sqrt{x} = (x+\sqrt{x}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4} = (\sqrt{x}+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4} \geq -\frac{1}{4}[/TEX]
Vậy [TEX]min A= -\frac{1}{4}[/TEX]
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh [TEX]f(x) \geq -\frac{1}{4}[/TEX],chưax chỉ ra trường hợp xảy ra [TEX]f(x)=-\frac{1}{4}[/TEX]. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi [TEX]\sqrt{x} = -\frac{1}{2}[/TEX], vô lí.
Lời giải đúng: Để tồn tại [TEX]\sqrt{x}[/TEX] phải có x\geq 0. Do đo [TEX]A = x+\sqrt{x} \geq 0[/TEX]. min A = 0 khi và chỉ khi x = 0.

TO BE CONTINUED ... (Mình phải đi ngủ cái đã, mai sẽ tiếp tục ... ngáp ...)

"Chúc các bạn học tốt môn Toán nhé!!!"
________________________________________

"TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN CỦA KẺ LƯỜI BIẾNG"
 
Last edited by a moderator:
V

vu_hoang_anh

Chúng ta tiếp tục nhé!

Phần III: MỘT SỐ PHUONG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
1. Xét biểu thức phụ:
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
[TEX]A = \frac{1}{2-\sqrt{3-x^2}}[/TEX]
Ta phải có [TEX]\mid\x\mid\ \leq \sqrt{3}[/TEX]. Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức
[TEX]B = \frac{1}{A} = 2-\sqrt{3-x^2}[/TEX]
Ta có [TEX]0 \leq \sqrt{3-x^2} \leq \sqrt{3} \Rightarrow -\sqrt{3-x^2} \leq 0 \Rightarrow 2-\sqrt{3} \Leftrightarrow \leq 2-\sqrt{3-x^2} \leq 2[/TEX]
[TEX]min B = 2-\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} = \sqrt{3-x^2} \Leftrightarrow x = 0[/TEX]
Khi đó [TEX]max A = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}[/TEX]
[TEX]max B =2 \Leftrightarrow \sqrt{3-x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm\ \sqrt{3}[/TEX]. Khi đó [TEX]min A = \frac{1}{2}[/TEX]
Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm cực trị của A, do A>0 nên ta xét biểu thức phụ \frac{1}{A}. Các biểu thức phụ thường xét có thể là [TEX]-A, A^2,\mid\A\mid\[/TEX]. Trong ví dụ dưới đây, ta xét biểu thức phụ B sai khác với A một hằng số.

2. Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]A = \frac{a^2}{a-1}+\frac{b^2}{b-1}[/TEX] với a>1, b>1.
Đặt a-1=x>0, b-1=y>0, ta có
[TEX]A = \frac{(x+1)^2}{x}+\frac{(y+1)^2}{y} = \frac{x^2+2x+1}{x}+\frac{y^2+2y+1}{y} = (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})+4[/TEX]
Với x>0, y>0 ta có [TEX]x+\frac{1}{x} \geq 2[/TEX], [TEX]y+\frac{1}{y} \geq 2[/TEX], nên A\geq8.
min A = 8 \Leftrightarrow x = y = 1 \Leftrightarrow a = b = 2.

3. Vận dụng các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của
[TEX]A = \sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}[/TEX] biết x+y=4
Giải
Bất đẳng thức CÔsi cho phép làm giảm một tổng
[TEX]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/TEX] với a và b không âm.
Ở đây ta lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức
[TEX]a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2}[/TEX] (các bạn tự chứng minh nhé)
[TEX]A = \sqrt{x-1}+\sqrt{y-2} \leq \sqrt{2(x-1+y-2)} = \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]max A = \sqrt{2} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x-1=y-2 \\ x+y=4 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=1,5 \\ y=2,5 \end{Bmatrix}[/TEX]

TO BE CONTINUED . . .

"Chúc các bạn học tốt môn Toán!!!"

______________________________________

"TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN CỦA KẺ LƯỜI BIẾNG"
 
Last edited by a moderator:
M

minhvunguyetanh97@gmail.com

Cái này đọc cũng hay đấy nhể bà con
Cố gắng đọc và chớ quên
 
V

vu_hoang_anh

Mình sorry các bạn nhé! Vì mấy hum nay mất mạng nên mình cũng pó tay, không post tiếp được.

Phần II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ

4. Chia khoảng để tìm cực trị:
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của
[TEX]A = x^2(3-x)[/TEX] với x \geq 0.
Giải:
a) Xét 0 \leq x \leq 3. Ta có: [TEX]A = 4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.(3-x).[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm [TEX]\frac{x}{2}, \frac{x}{2}, 3-x[/TEX] ta được
[TEX]\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.(3-x) \leq (\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+3-x}{3})^3 = 1[/TEX]
Do đó A \leq 4. (1)
b) Xét x >3, khi đó A < 0. (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận
[TEX]max A = 4 \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \frac{x}{2} = 3-x // x \geq 0 \Leftrightarrow x = 2[/TEX]

5. Dùng đồ thị để tìm cực trị:
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
[TEX]y = /mid/x-1/mid/ + /mid/x-3/mid/ - /mid/2x+2/mid/[/TEX] với [TEX]-2 \leq x \leq 4[/TEX]
Giải: Xét giá trị của y ứng với từng khoảng giá trị của x, ta có:
Với -2 \leq x \leq -1
thì [TEX]y = (1-x) + (3-x) - (-2x-2) = 6[/TEX]
Với -1 \leq x \leq 1
thì [TEX]y = (1-x) + (3-x) - (2x+2) = -4x+2[/TEX]
Với 1 < x < 3
thì [TEX]y = (x-1) + (3-x) - /mid/2x+2/mid/ = -6[/TEX]
\Rightarrow Ta có đồ thị của hàm số
[TEX]y = /mid/ x-1 /mid/ + /mid/ 3-x /mid/ - /mid/ 2x+2 /mid/[/TEX] với -2 \leq x \leq 4.
Từ đồ thị ta thấy:
[TEX]max y = 6 \Leftrightarrow -2 \leq x \leq -1 .[/TEX]
[TEX]min y = -6 \Leftrightarrow 3 \leq x \leq 4 .[/TEX]

6. Tìm liên hệ giữa biểu thức đã cho và biểu thức phải tìm cực trị:
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[TEX]A = a^3 + b^3 + c^3[/TEX]
biết rằng a \geq -1, b \geq -1, c \geq -1 và a + b + c = 0
Giải:
Ta tìm liên hệ giữa [TEX]a^3 + b^3 +c^3[/TEX] và [TEX]a +b + c[/TEX]. Trước hết tìm liên hệ giữa [TEX]a^3[/TEX] và a với a \geq -1.
Ta có [TEX]a^3 +1 = (a+1)(a^2 -a + 1) = (a+b)(a^2 -a + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}(a+1)[/TEX]
do đó [TEX]a^3 - \frac{3}{4}a + \frac{1}{4} = (a+1)(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0[/TEX] với a \geq -1.
Tương tự [TEX]b^3 -\frac{3}{4}b + \frac{1}{4} \geq 0, c^3 - \frac{3}{4}c + \frac{1}{4} \geq 0[/TEX] với b \geq -1, c \geq -1
Do đó [TEX](a^3 + b^3 + c^3) - \frac{3}{4}(a+b+c) + \frac{3}{4} \geq 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 \geq -\frac{3}{4}[/TEX]
[TEX]A = -\frac{3}{4} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} a=-1, a=\frac{1}{2} // b= -1, b = \frac{1}{2} // c = -1, c= \frac{1}{2} // a+b+c = 0[/TEX]
Vậy [TEX]min A = -\frac{3}{4}[/TEX] \Leftrightarrow trong a, b, c có 2 số bằng \frac{1}{2} và một số bằng -1.

- THE END -

"Chúc các bạn học giỏi môn Toán nhé!!!"

_______________________________________-

"TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN CỦA KẺ LƯỜI BIẾNG"
 
Last edited by a moderator:
S

shuieshushu

Mình đang học về chuyên đề Cực trị này, có một số bài tập mà mình chưa làm được thì có thể post vô đây nhờ bạn giúp được không? Mình cảm ơn :)
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom