[Đại số 9] Phương trình bậc bốn - Chứng minh chia hết

D

dieuthuong.phy

Last edited by a moderator:
D

de_3_lo

đặt $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \ \ (a \not= 0)$

Ta có: $\begin{cases}P(0) \ \vdots \ 7 \\ P(0) =e \end{cases}$

$\Rightarrow e \ \vdots \ 7$

Lại có: $\begin{cases}P(1) \ \vdots \ 7 \\ P(1) =a+b+c+d+e \\ e \ \vdots \ 7 \text{(chứng minh trên)} \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} a+b+c+d+e\ \vdots \ 7 \ (1)\\a+b+c+d \ \vdots \ 7 (2)\end{cases}$

Mà $\begin{cases}P(-1) \ \vdots \ 7 \\ P(-1)=a-b+c-d+e \end{cases} \ (3)$

$(1) \ ;(3) \ \Rightarrow 2(b+d) \ \vdots \ 7$

Mà $(2;7)=1 \Rightarrow b+d \vdots \ 7 (4)$

$(2) \;(4) \ \Rightarrow a+c \ \vdots \ 7$

Mặt khác:$\begin{cases}P(2) =16a+8b+4c+2d+e \ \vdots \ 7 (5)\\ P(-2)=16a-8b+4c-2d+e (6)\end{cases}$

$\Rightarrow 16b+4d \ \vdots \ 7$

$\Leftrightarrow 12b+4(b+d) \ \vdots \ 7$

Do $b+d \ \vdots \ 7$

$\Rightarrow 12 b \ \vdots \ 7$

$\Rightarrow b \ \vdots \ 7 \ \text{Do (12;7)=1}$

$\Rightarrow d \ \vdots \ 7$


Lại có:$(5);(6) \Rightarrow 32a+8c+2e \ \vdots \ 7$

$\Leftrightarrow 24a +8(a+c)+2e \ \vdots \ 7$

Mà $\begin{cases} a+c \ \vdots \ 7 \\ e \ \vdots \ 7 \end{cases}$

$\Rightarrow 24a \ \vdots \ 7$

$\Rightarrow a \ \vdots \ 7 \ \text{(do (24;7)=1)} $

$\Rightarrow c \ \vdots \ 7 \text{(do $a+c \ \vdots \ 7)$}$

Chứng tỏ ....
 
P

phumanhpro

$$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$
x=0 => e chia hết cho 7
x=1 và x=-1 => a+c và b+d chia hết cho 7
x=2 => 6a+3b và 6a+2b chia hết cho 7
=> b chia hết cho 7
=> a, d, c chia hết cho 7
 
Top Bottom