đại số 9 nâng cao.

[garung90]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c thuộc [0;2] và a+b+c =3.
CMR: 3\leq $ a^{2} + b^{2} + c^{2}$\leq5.

 

[braga]

Đặt [TEX]a=x+1 , b=y+1,c=z+1 \ thi \ x,y,z\in [-1;1] \ va \ x+y+z=0[/TEX]
a, Ta có:
[TEX]a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+3\geq 3 [/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]x=y=z=0 \Rightarrow a=b=c=1[/TEX]
Mặt khác , do [TEX]x,y,z\in [-1;1][/TEX] nên
[TEX](1-x)(1-y)(1-z)+(1+x)(1+y)(1+z) \geq 0 \\ \Leftrightarrow 2+2(xy+yz+zx)\geq 0 \\ \Leftrightarrow 2-(x^2+y^2+z^2)+(x+y+z)^2\geq 0 \\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5[/TEX]
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn [TEX]a=2.b=1,c=0[/TEX]
b, Ta có:
[TEX]a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1) \\ = (x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3-3xyz \\ = x^3+y^3+z^3-3xyz+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+3[/TEX]
Mà [TEX]x+y+z=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+3=3(x^2+y^2+z^2)+3[/TEX]
Theo câu a thì [TEX]0\leq x^2+y^2+z^2\leq 2[/TEX] nên ta có dpcm

 

[congchuaanhsang]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$a^2$+$b^2$+$c^2$\geq$\frac{(a+b+c)^2}{3}$
\Leftrightarrow$a^2$+$b^2$+$c^2$\geq3
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c ; a+b+c=3 và a,b,c thuộc [0;2]\Leftrightarrowa=b=c=1
Vì a,b,c thuộc [0;2]\Rightarrowa,b,c\leq2
\Rightarrow(2-a)(2-b)(2-c)\geq0\Leftrightarrow8-4(a+b+c)+2ab+2ac+2bc-abc\geq0
\Leftrightarrow2ab+2ac+2bc\geqabc+4 (vì a+b+c=3) \Leftrightarrow $a^2$+$b^2$+$c^2$+2ab+2bc+2ca\geq$a^2$+$b^2$+$c^2$+abc+4
\Leftrightarrow$(a+b+c)^2$\geq$a^2$+$b^2$+$c^2$+ abc +4
\Leftrightarrow9\geq$a^2$+$b^2$+$c^2$+abc+4 \Leftrightarrow 5\geq$a^2$+$b^2$+$c^2$+abc
Vì a,b,c\geq0\Rightarrowabc\geq0\Rightarrowabc+$a^2$+$b^2$+$c^2$\geq$a^2$+$b^2$+$c^2$
\Rightarrow5\geq$a^2$+$b^2$+$c^2$ hay $a^2$+$b^2$+$c^2$\leq5
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrowtrong 3 số a,b,c có 1 số bằng 0; 1 số bằng 1 ; 1 số bằng 2