Toán Đại số 9 khó

[trunghieule2807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a, b, c # 0 thỏa mãn:
[tex]a+b+c=abc[/tex] và [tex]a^{2}=bc[/tex]. Chứng minh:
[tex]a^{2}\geq 3[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$a^2=bc (1) $
$a+b+c=abc (2) $
+Nếu $c<0$ từ (1) ta có $b<0 $
b>c,từ (1) => $|b|<a $ và $|c|>a$ => $a+c<0$
=> $a+b+c<0$
$mà abc=a.a^2=a^3>0$
=> $a+b+c<0<abc$ (vô lí vì $a+b+c=abc$)
+Mà $c\neq 0$ => $c>0$
từ (2) ta có: $a+b+c=abc=a^3$(do 1)
Ta có: $(a-b)^2\geq 0\iff a^2+b^2-2ab\geq 0\iff a^2+b^2\geq 2ab$
Áp dụng BĐT trên vào ta đc: $a+b\geq \sqrt{ab};b+c\geq \sqrt{bc};c+a\geq \sqrt{ca}$
=> $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{a^3}=3a$
=> $3a\leq a+b+c=a^3$
mà $a>0$ => $a\geq \sqrt{3}$ hay $a^2\geq 3$